Cтр. 56

Фигуры постоянной ширины
Поделиться…

Крышки люков, спасающие пешеходов от падений в колодцы и мешающие автомобилистам, чаще всего имеют круглую форму. Выбор такой формы объясняется соображениями безопасности — квадратная крышка при сдвиге может провалиться, поскольку сторона квадрата меньше его диагонали. А у круга есть замечательное свойство — это фигура постоянной ширины.

Постоянная ширина означает, что при «обхвате» фигуры двумя параллельными прямыми ширина полученной полосы будет постоянной, не зависящей от выбора направления прямых.

А есть ли на плоскости, помимо круга, другие фигуры постоянной ширины? Оказывается, есть, и их бесконечно много.

Самая простая и самая знаменитая такая фигура — треугольник Рёло. Точнее говоря, эта фигура только напоминает треугольник, её граница — дуги трёх окружностей с центрами в вершинах правильного треугольника и одинаковых радиусов, равных длине стороны треугольника. Можно показать (и «проверить» с помощью штангенциркуля), что при обхвате фигуры параллельными прямыми точками касания прямых для треугольника Рёло будут одна из его вершин и какая–то точка на противолежащей этой вершине дуге окружности. Так как радиусы всех дуг равны, то результат «измерения» всегда будет одинаков.

По той же схеме, что и для треугольника, фигуру постоянной ширины можно построить на любом правильном $n$–угольнике, имеющем нечётное число вершин. Можно построить и несимметричные фигуры постоянной ширины.

Житейски, свойство постоянной ширины фигуры можно продемонстрировать, изготовив набор роликов с профилями различных фигур фиксированной постоянной ширины. Если положить ролики на горизонтальную поверхность и накрыть дощечкой, то при качении роликов дощечка будет перемещаться горизонтально.

У фигур постоянной ширины немало интересных свойств. Например, все фигуры данной постоянной ширины имеют одинаковый периметр. Есть у таких фигур и своеобразная иерархия. А именно, среди фигур данной постоянной ширины наибольшая площадь — у круга, наименьшая — у треугольника Рёло.

Благодаря своим геометрическим свойствам, фигуры постоянной ширины находят применение в различных областях.

Первый пример. Вы опускаете монету в автомат и она отправляется в путь по монетоприёмнику. Чтобы монета не застряла, можно, конечно, расширить трубку. А можно изготавливать монеты в виде фигур постоянной ширины, тогда монета не застрянет, даже вращаясь.

Простейшая фигура постоянной ширины, как мы знаем, — круг, форму которого имеет большинство монет. Но есть и исключения. В Великобритании 20–\null\ и 50–пенсовые монеты имеют форму фигуры постоянной ширины, построенной на правильном семиугольнике. Такую же форму имеет и монета достоинством в полдинара, имеющая хождение в Иордании. Изготовление монет в виде фигур постоянной ширины, отличных от круга, позволяет экономить металл: ведь как мы знаем, при фиксированной ширине круглая монета — самая металлоёмкая.

В двух других примерах треугольник Рёло скрыт от глаз, но является главной идейной составляющей конструкции.

До наступления цифровой эпохи фильмы снимали на плёнку. И в кинокамерах, и в кинопроекторах были грейферные механизмы, обеспечивавшие скачкообразное движение плёнки вдоль объектива (стандартно 18 скачков в секунду). Движение этих механизмов задавал треугольник Рёло.

В автомобилестроении в конце 1940–х годов Ф. Г. Ванкель придумал схему двигателя без коленчатого вала — устройства, преобразующего поступательное движение поршней во вращение вала мотора. В этом двигателе, называемом роторным, нет цилиндров. Тело, называемое ротором, при вращении постоянно касается стенок камеры двигателя, разделяя рабочее пространство на три части. В двигателе Ванкеля форма ротора в сечении — треугольник Рёло.

Возвращаясь к геометрии заметим, что если центр треугольника Рёло двигается по специальной замкнутой кривой, а сам треугольник при этом вращается вокруг центра, то заметаемая область имеет форму квадрата, углы которого немного закруглены. С использованием этой идеи разработано и запатентовано сверло, позволяющее получать почти квадратные отверстия!

Литература

  • Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры: опыты математического мышления. — М.: ОНТИ, 1936. — [Переиздавалась в 1938, 1962, 1966 годах].
  • Яглом И. М., Болтянский В. Г. Выпуклые фигуры. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1951. — (Библиотека математического кружка; вып. 4).