Радуга

В кино­те­атре зри­тель сидит перед экра­ном, за его спи­ной нахо­дится про­ек­тор, «пере­дающий» на экран гото­вую кар­тинку. Схожим обра­зом про­ис­хо­дит и про­смотр при­род­ной кар­тины «Радуга», но есть принци­пи­аль­ное отли­чие. На «экран» в виде стены дождя Солнце-про­ек­тор све­тит белыми лучами, а перед наблю­да­те­лем вспы­хи­вает яркая многоцвет­ная радуга.

В объяс­не­ние формы радуги и её рас­по­ложе­ния на небе основ­ной вклад внёс Рене Декарт (в 1637 году издано «Рас­суж­де­ние о методе» с заме­ча­тель­ными рисун­ками), а Исаак Нью­тон «рас­кра­сил» радугу (его «Оптика» была издана в 1704 году). Декарт свои выводы о меха­низме обра­зо­ва­ния радуги сде­лал на основе результа­тов тысяч про­ве­дён­ных опытов по изу­че­нию про­хож­де­ния сол­неч­ных лучей через круг­лую колбу, напол­нен­ную водой. Нью­тон, изу­чив раз­ложе­ние белого света на цве­то­вые состав­ляющие при про­хож­де­нии через стек­лян­ную призму, смог объяс­нить цве­то­вую гамму радуги и поря­док цве­тов в ней.

Радуга // Математическая составляющая

Выводы как Декарта, так и Нью­тона можно полу­чить, изу­чая про­хож­де­ние сол­неч­ных лучей через одну дож­де­вую каплю. В пер­вом при­ближе­нии можно счи­тать, что капля имеет форму шара, а при­хо­дящие от далё­кого Солнца лучи парал­лельны.

При пере­ходе лучей через гра­ницу двух сред — как из воз­духа в каплю, так и из капли в воз­дух — про­ис­хо­дят два процесса: отраже­ние и пре­лом­ле­ние. Каж­дая такая раз­вилка порож­дает новые лучи.

Рас­смот­рим ход лучей в «есте­ствен­ной» вер­ти­каль­ной плос­ко­сти. Будем сле­дить только за теми лучами, кото­рые, попа­дая в глаз наблю­да­теля, обра­зуют первую радугу. Сол­неч­ные лучи падают на верх­нюю поло­вину капли и при пере­ходе гра­ницы «воз­дух — капля» пре­лом­ляются, изме­няя направ­ле­ние движе­ния (в воде, как в более плот­ной среде, лучи откло­няются в сто­рону нормали к гра­нице). При­чём каж­дый сол­неч­ный луч при пере­ходе гра­ницы капли расщеп­ля­ется на пучок состав­ляющих его раз­ноцвет­ных лучей (спектр). Объяс­ня­ется это тем, что у лучей раз­ного цвета коэффици­енты пре­лом­ле­ния раз­личны. Здесь капля воды выступает в роли призмы из опытов Нью­тона по раз­ложе­нию сол­неч­ного света на цве­то­вые состав­ляющие.

Радуга // Математическая составляющая

Затем цвет­ные лучи отражаются от «даль­ней» стенки и ещё раз пре­лом­ляются при выходе из капли.

Спектр сол­неч­ного света — непре­рыв­ное раз­ноцве­тье с плав­ными пере­хо­дами, от крас­ного до фио­ле­то­вого. Тра­дици­онно, вслед за Нью­то­ном, выде­ляют семь обла­стей спек­тра, назва­ния кото­рых зна­комы всем по повсе­днев­ной жизни: крас­ный, оран­же­вый, жёл­тый, зелё­ный, голу­бой, синий, фио­ле­то­вый.

Марш­рут путеше­ствия каж­дой из цве­то­вых состав­ляющих белого луча, от крас­ной до фио­ле­то­вой, можно пред­ста­вить наглядно.

Напри­мер, крас­ные лучи, выхо­дящие из капли после пре­лом­ле­ния — отраже­ния — пре­лом­ле­ния, состав­ляют веер лучей, обра­зующих с направ­ле­нием на Солнце углы от $0°$ до $42°$. Эти зна­че­ния — результат опытов, и вычис­ле­ний, про­де­лан­ных ещё Декар­том. Но направ­ле­ние с углом выхода $42°$ (точ­нее, $42°\ 22'$) — осо­бое, здесь наблю­да­ется концен­трация, накоп­ле­ние крас­ных лучей; интен­сив­ность излу­че­ния крас­ного цвета в этом направ­ле­нии наи­большая.

Радуга // Математическая составляющая

Ана­логично обстоит дело с другими цве­тами спек­тра. Правда, есть важ­ная деталь: коэффици­ент пре­лом­ле­ния лучей по мере движе­ния от крас­ного цвета к фио­ле­то­вому будет моно­тонно меняться, соот­вет­ственно будет моно­тонно меняться (точ­нее, уменьшаться) и угол интен­сив­ного све­че­ния для дан­ного цвета. Для фио­ле­то­вого цвета, вто­рой гра­ницы спек­тра, этот угол при­мерно равен $41°$ (точ­нее, $40°\ 36'$).

Итак, лучи, падающие на верх­нюю поло­вину капли и отра­зивши­еся внутри неё только один раз, порож­дают выхо­дящие из капли раз­ноцвет­ные лучи, кото­рые можно раз­де­лить на две группы. Во‐пер­вых, из каж­дой маленькой капли выхо­дит узкий пучок раз­бегающихся интен­сивно окрашен­ных раз­ноцвет­ных лучей, состав­ляющих с направ­ле­нием падающих сол­неч­ных лучей углы от $41°$ (фио­ле­то­вый) до $42°$ (крас­ный). Этот пучок порож­да­ется сол­неч­ными лучами, рас­сто­я­ние от кото­рых до цен­тра капли состав­ляет при­мерно $0{,}86$ её ради­уса. Во‐в­то­рых, в диапа­зоне от $0°$ до $41°$ соби­раются лучи всех цве­тов и малой ярко­сти, порож­дающие мяг­кий рас­се­ян­ный свет от капли. Нако­нец, вне интер­вала углов $(0°, 42°)$ вообще нет выхо­дящих из капли лучей рас­смат­ри­ва­емого типа.

От рас­смот­ре­ния опти­че­ских свойств капель вер­нёмся к задаче опи­са­ния радуги. Про­должим работу в «есте­ствен­ной» вер­ти­каль­ной плос­ко­сти, в кото­рой нахо­дятся наблю­да­тель, Солнце за его спи­ной и ось «Солнце — наблю­да­тель», парал­лель­ная сол­неч­ным лучам. Перед наблю­да­те­лем — вер­ти­каль­ный срез облака капель. Из каж­дой капли выхо­дят яркие раз­ноцвет­ные лучи, по каж­дому направ­ле­нию в диапа­зоне от $41°$ до $42°$ — только один. Зна­чит, если в глаз наблю­да­теля попа­дает один из этих лучей, то осталь­ные про­хо­дят мимо, а сама эта капля ста­но­вится для наблю­да­теля ярко-одно­цвет­ной.

Радуга // Математическая составляющая

Такой яркий луч, пере­се­кая две парал­лель­ные прямые сол­неч­ных лучей, про­хо­дящих через наблю­да­теля и каплю, обра­зует с ними рав­ные накрест лежащие углы. Напри­мер, каж­дая капля испус­кает крас­ный луч под углом $42°$, поэтому наблю­да­тель уви­дит на небе ярко-крас­ную точку тоже под углом $42°$ к оси «Солнце — наблю­да­тель». Можно пока­зать, что для наблю­да­теля все капли в толще дождя, рас­по­ложен­ные рядом с лучом $42°$, будут ярко-крас­ными.

Наблю­да­те­лем все капли внутри угла $41°$$\mkern1mu42°$ (в вер­ти­каль­ной плос­ко­сти) будут воспри­ниматься как видимый объект — кусо­чек радуги, сияющей всеми цве­тами спек­тра от крас­ного до фио­ле­то­вого.

Враще­нием этого фраг­мента радуги вокруг оси «Солнце — наблю­да­тель» можно полу­чить пол­ный порт­рет радуги (так как в каж­дой плос­ко­сти, про­хо­дящей через ось, процессы оди­на­ко­вые). Радуга в небе как видимый объект для наблю­да­теля — круго­вая дуга «толщи­ной» около $1°$ и с цен­тром на оси «Солнце — наблю­да­тель» (гово­рят, что центр радуги нахо­дится в про­ти­во­сол­неч­ной точке).

Для каж­дого цвета спек­тра соот­вет­ствующая окруж­ность пред­став­ляет все ярко-одно­цвет­ные точки, ухо­дящие вдаль по обра­зующим круго­вого конуса, ось кото­рого — «Солнце — наблю­да­тель», вершина — наблю­да­тель, а полу­рас­твор (в зави­симо­сти от цвета) — от $41°$ (фио­ле­то­вый) до $42°$ (крас­ный).

Радуга // Математическая составляющая

Высота радуги в небе зави­сит от положе­ния Солнца. Напри­мер, если Солнце садится, то на коромысле каче­лей «Солнце — наблю­да­тель — центр радуги» будет под­ниматься про­ти­во­вес Солнца — центр радуги, а с ним и вся радуга. И нао­бо­рот: чем выше Солнце, тем ниже радуга, тем меньше её дуга. Самая большая радуга, почти поло­вина окруж­но­сти, — когда Солнце нахо­дится у линии гори­зонта. А вот с само­лёта на фоне обла­ков можно уви­деть радугу и в виде пол­ной окруж­но­сти.

Иногда в небе видна и вто­рая радуга. В отли­чие от пер­вой радуги, у форми­рующих вто­рую радугу сол­неч­ных лучей более слож­ный путь. В вер­ти­каль­ной плос­ко­сти лучи падают на ниж­нюю поло­вину капли, пре­лом­ляются, отражаются от сте­нок капли два раза, ещё раз пре­лом­ляются и выхо­дят наружу. Два внут­рен­них отраже­ния при­во­дят к четырём изме­не­ниям в свойствах выхо­дящего из капли пучка: угло­вой диапа­зон смеща­ется в район $51°$$52°$; он ста­но­вится шире; интен­сив­ность излу­че­ния снижа­ется; поря­док цве­тов меня­ется на про­ти­вопо­лож­ный.

Радуга // Математическая составляющая

Пере­чис­лим свойства вто­рой радуги, срав­ни­вая их со свойствами пер­вой: в небе «висит» при­мерно на $10°$ выше пер­вой, угло­вая толщина около $2°$, явля­ется менее яркой (иногда её про­сто не видно нево­оружён­ным гла­зом), поря­док цве­тов в ней обрат­ный — от фио­ле­то­вого до крас­ного (сверху вниз).

Если вам повезло и на небе видна двой­ная радуга, то ста­нет замет­ным ещё одно опти­че­ское явле­ние: тём­ная полоса между пер­вой и вто­рой раду­гами. Назван­ная поло­сой Алек­сандра в честь опи­савшего её древ­негре­че­ского фило­софа, эта область тем­нее, чем обла­сти ниже пер­вой радуги и выше вто­рой. Дело в том, что в обла­сти ниже пер­вой радуги, от $0°$ до $41°$, наблю­да­тель видит мяг­кое све­че­ние, вызван­ное рас­се­я­нием сол­неч­ных лучей (о кото­ром уже гово­ри­лось). Ана­логич­ная кар­тина и выше вто­рой радуги. А вот зона между раду­гами освещена только общим све­том неба.

Рас­смот­рен­ные радуги — пер­вая и вто­рая — воз­ни­кают в зави­симо­сти от числа внут­рен­них отраже­ний сол­неч­ных лучей в капле. Тео­ре­ти­че­ски, форми­руются и радуги, порож­дён­ные большим чис­лом отраже­ний лучей в капле, но поскольку при каж­дом отраже­нии энергия теря­ется, радуги высо­ких поряд­ков — блед­ные, неяр­кие и заме­тить их трудно.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Допол­не­ния, коммен­та­рии

Рене Декарт был не только вели­ким матема­ти­ком и фило­софом, но и есте­ство­ис­пыта­те­лем, ста­вившим ост­ро­ум­ные экс­пе­рименты, тре­бо­вавшие изоб­ре­та­тель­но­сти и упор­ства.

В знаме­ни­том труде «Рас­суж­де­ние о методе» Декарт сформу­ли­ро­вал принципы науч­ного иссле­до­ва­ния и при­ме­нил их к изу­че­нию явле­ний при­роды, в част­но­сти радуги. Понимая, что элементы радуги воз­ни­кают в каж­дой капле воды, Декарт, как он пишет, решил «создать очень большую каплю», для чего «напол­нил водой большой стек­лян­ный сосуд, вполне круг­лый и вполне про­зрач­ный». Наблю­дая с раз­ных точек про­хож­де­ние сол­неч­ных лучей через сосуд Декарт обна­ружил, что под углом $42°$ к направ­ле­нию падающих лучей капля-сосуд излу­чает ярко-крас­ный свет, т. е. капля ста­но­вится «фона­ри­ком», кото­рый в сто­рону источ­ника света излу­чает крас­ные лучи по обра­зующим конуса с углом полу­рас­твора $42°$.

Обна­ружив эффект экс­пе­римен­тально, Декарт объяс­нил его, опи­ра­ясь на про­де­лан­ные рас­чёты. Углы выхода лучей из капли он вычис­лил с помощью закона пре­лом­ле­ния. В силу симмет­рии движе­ние сол­неч­ного луча (точ­нее, его моно­хром­ных состав­ляющих) внутри капли зави­сит только от рас­сто­я­ния между падающим лучом и её цен­тром. Тех­ни­че­ски удобно про­во­дить ана­лиз, исполь­зуя параметр $k=\frac{\mathrm{рас­сто­я­ние}}{\mathrm{радиус}}$. Коэффици­енты пре­лом­ле­ния моно­хром­ных лучей раз­личны, поэтому выде­лим у каж­дого падающего луча одну компо­ненту, — напри­мер, крас­ную.

Сна­чала Декарт про­вёл рас­чёты для $k$ от 0 до 1 с шагом $0{,}1$. Затем, обна­ружив, что наи­большие зна­че­ния угла выхода полу­чаются при $k=0{,}8$ и $k=0{,}9$, прошёл интер­вал $[0{,}8; 0{,}9]$ с шагом $0{,}01$. Результат ока­зался тот же, что и в экс­пе­рименте: наи­больший угол — при­мерно $42°$, достига­ется это зна­че­ние при $k=0{,}86$. Более точно, при уве­ли­че­нии $k$ от $0$ до $0{,}86$ угол воз­рас­тает от $0°$ до $42°$, а при даль­нейшем уве­ли­че­нии $k$ от $0{,}86$ до 1 угол начи­нает уменьшаться.

На основе состав­лен­ной им таб­лицы Декарт заклю­чил, что «име­ется гораздо больше» лучей в окрест­но­сти зна­че­ния $42°$, чем при меньших зна­че­ниях. А вне конуса (вершина — капля, ось — направ­ле­ние падающих лучей) полу­рас­твора $42°$ вообще нет выхо­дящих из капли крас­ных лучей.

Объяс­ним почему выхо­дящие из капли крас­ные лучи группи­руются около экс­тремаль­ного угла $42°$ и, как след­ствие, почему столь велика энергия (яркость) этого пучка лучей.

Угол выхода луча в зави­симо­сти от параметра $k$ пред­став­лен на графике (здесь, как и в преды­дущем коммен­та­рии, $k$ — это дробь, чис­ли­те­лем кото­рой явля­ется рас­сто­я­ние между падающим лучом и цен­тром капли, а в знаме­на­теле — её радиус).

Поток падающих лучей по параметру $k$ рас­пре­де­лён рав­но­мерно, поэтому график «гово­рит», что на наклон­ных участ­ках коли­че­ство выхо­дящих лучей, нахо­дящихся в каком‐то угло­вом интер­вале, про­порци­о­нально $\delta$ — его длине. Но в «шапочке» кри­вой, в окрест­но­сти мак­сималь­ного зна­че­ния $\Delta_{\max}=42°$ соот­ноше­ния другие. В окрест­но­сти точки экс­тремаль­ного зна­че­ния функция зами­рает, её зна­че­ния почти не меняются.

Радуга // Математическая составляющая

При­ближён­ный вид «шапочки» — пере­вёр­ну­тая пара­бола (знающие формулу Тей­лора сразу это поймут). Для нагляд­но­сти рас­смот­рим обыч­ную пара­болу $y=x^2$.

В полосе $0<y<\delta$ лежат зна­че­ния функции от аргумента $x\in (-\sqrt{\delta}; \sqrt{\delta}).$ Если $\delta$ много меньше, чем 1, то вели­чина $\sqrt{\delta}$ зна­чи­тельно больше, чем $\delta$ (напри­мер: если $\delta=0{,}01$, то $\sqrt{\delta}=0{,}1$). Воз­враща­ясь к «шапочке», полу­чаем, что энергия дан­ного пучка угло­вой ширины $\delta$ будет про­порци­о­нальна $\sqrt{\delta}$, а не $\delta$, как на наклон­ных участ­ках. Эти лучи и создают ярко све­тящуюся точку — точку радуги.

Лите­ра­тура

Арнольд В. И. Матема­ти­че­ское понима­ние при­роды. — М.: МЦНМО, 2010. — [Сюжет «Радуга»].

Панов А. Радуга Декарта—Нью­тона—Юнга // Жур­нал «Квант». 2016. № 3. Стр. 10—14; № 4. Стр. 8—12.

Тара­сов Л. В., Тара­сова А. Н. Беседы о пре­лом­ле­нии света. — М.: Наука, 1982. — (Биб­лио­течка «Квант»; Вып. 18).

Нус­сенцвейг Х. Тео­рия радуги // Успехи физи­че­ских наук. 1978. Т. 125. Стр. 527—547.

Мин­нарт М. Свет и цвет в при­роде. — М.: ГИФМЛ, 1958.

Зве­рева С. В. В мире сол­неч­ного света. — Л.: Гид­роме­тео­из­дат, 1988.

Декарт Р. О радуге // Декарт Р. Рас­суж­де­ния о методе. С прило­жени­ями: Диоп­трика. Метеоры. Геомет­рия. — М.: Изд‐во АН СССР, 1953. — Стр. 264—280.

Нью­тон И. Оптика, или Трак­тат об отраже­ниях, пре­лом­ле­ниях, изги­ба­ниях и цве­тах света. — 2‐е изд. — М.: ГИТТЛ, 1954.