Кватернионы выходят в космос

В ирланд­ской сто­лице Дуб­лине на мосту Брум висит памят­ная таб­личка: «На этом месте 16 октября 1843 года во время прогулки сэр Уильям Роуэн Гамильтон в минуту гени­аль­ного про­зре­ния открыл формулу, опре­де­ляющую умноже­ние ква­тер­ни­о­нов, $$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$$

и наца­рапал её на кам­нях этого моста».

Кватернионы выходят в космос // Математическая составляющая

Эти пра­вила поз­во­ляют опре­де­лить умноже­ние ква­тер­ни­о­нов — чет­вё­рок веще­ствен­ных чисел (на латыни quaterni озна­чает «по четыре»). Чет­вёрку $q=(a;b;c;d)$ можно рас­смат­ри­вать как раз­ложе­ние $q=a+bi+cj+dk$, где $i$, $j$, $k$ — «мнимые еди­ницы» из формулы на мосту Брум.

Одни учё­ные — напри­мер, созда­тель тео­рии элек­три­че­ства Макс­велл — при­няли тео­рию ква­тер­ни­о­нов и стали её исполь­зо­вать. Другие отвергали, нахо­дили её вычур­ной и непрак­тич­ной.

Мино­вал век, даже больше. И неожи­данно вме­сте с чело­ве­ком ква­тер­ни­оны вышли в кос­мос. В конце 1960‐х годов у кон­струк­то­ров кос­ми­че­ских аппа­ра­тов появи­лась тех­ни­че­ская возмож­ность уста­новки ЭВМ на борту корабля. Наряду с Цен­тром управ­ле­ния полё­тами на Земле и кос­мо­нав­тами на борту, вычис­ли­тель­ная машина должна была управ­лять кораб­лём. Тре­бо­ва­ния к машине были пре­дельно жёст­кими: устой­чи­вость к перегруз­кам и малый вес необ­хо­димо было совме­стить с высо­ким быст­ро­действием и доста­точ­ным объёмом памяти.

Одна из глав­ных задач для бор­то­вого компью­тера — посто­ян­ный рас­чёт коор­ди­нат и ори­ен­тации корабля. На тот момент было два основ­ных спо­соба опи­са­ния ори­ен­тации: исполь­зо­ва­ние углов Эйлера и метод направ­ляющих коси­ну­сов. У каж­дого из этих спо­со­бов есть суще­ствен­ные прак­ти­че­ские недо­статки. В пер­вом слу­чае опас­ность воз­ни­кает, когда опи­са­ние положе­ния корабля на языке углов Эйлера вырож­да­ется, в результате про­ис­хо­дит сбой в управ­ле­нии ори­ен­тацией. Во вто­ром вари­анте вычис­ли­тель­ная тех­ника того времени про­сто не справ­ля­лась с необ­хо­димо­стью обнов­ле­ния информации с шагом в сотые или даже тысяч­ные доли секунды (а такая необ­хо­димость воз­ни­кала на актив­ных участ­ках полёта — выве­де­нии на орбиту и спуске корабля).

Реше­ние, поз­во­ляющее избежать пере­чис­лен­ных про­блем, было най­дено сотруд­ни­ками Цен­траль­ного кон­струк­тор­ского бюро экс­пе­римен­таль­ного маши­но­стро­е­ния (бывшее ОКБ‐1 С. П. Коро­лёва). Учё­ные и инже­неры поняли, что опи­са­ние движе­ний в трёхмер­ном про­стран­стве на «четырёхмер­ном» языке ква­тер­ни­о­нов поз­во­ляет раз­ра­бо­тать систему управ­ле­ния движе­нием (СУД), удоб­ную для вычис­ле­ний и реа­ли­зу­емую на бор­то­вой ЭВМ.

Дело в том, что движе­ния в трёхмер­ном про­стран­стве можно пред­ста­вить как алгеб­ра­и­че­ские опе­рации (сложе­ние и умноже­ние) с ква­тер­ни­о­нами (чет­вёр­ками чисел). А это, в свою оче­редь, озна­чает выпол­не­ние ряда арифме­ти­че­ских опе­раций с обыч­ными чис­лами — компо­нен­тами ква­тер­ни­о­нов.

В создан­ной «ква­тер­ни­он­ной» СУД нет опас­но­стей, свя­зан­ных с вырож­де­нием опи­са­ния, нет и перегрузки ЭВМ из‐за необ­хо­димо­сти непре­рывно вычис­лять зна­че­ния триго­номет­ри­че­ских функций. Курс изу­че­ния СУД вхо­дит в программу обще­кос­ми­че­ской подго­товки кос­мо­нав­тов, так что всем кан­ди­да­там при­хо­дится изу­чать ква­тер­ни­оны.

Пред­став­ле­ние парамет­ров ори­ен­тации в терми­нах ква­тер­ни­о­нов не явля­ется совершен­ным — не хва­тает нагляд­но­сти. Обычно кос­мо­навты ещё на тре­ни­ров­ках много­кратно отра­ба­ты­вают штат­ные режимы и запоми­нают кон­троль­ные зна­че­ния парамет­ров, вклю­чая ква­тер­ни­оны.

Одна из самых слож­ных и ответ­ствен­ных опе­раций в кос­мосе — сты­ковка кораб­лей. Вот исто­рия одной из нештат­ных ситу­аций на орбите, в кото­рой выру­чило уме­ние «читать» ква­тер­ни­оны. Кос­мо­навту Алек­сан­дру Сереб­рову в его тре­тьем полёте дове­лось с Алек­сан­дром Вик­то­ренко при­нимать на станции «Мир» модуль «Кван­т‐2». Программа авто­ма­ти­че­ской сты­ковки уже была запущена, как вдруг из‐за пере­пол­не­ния памяти бор­то­вой ЭВМ оста­но­ви­лись сило­вые гиро­скопы (гиро­дины). При­ш­лось пере­хо­дить на руч­ной режим сближе­ния и сты­ковки. Вик­то­ренко управ­лял ори­ен­тацией станции, а Сереб­ров на экране мони­тора сле­дил за парамет­рами процес­сов. И когда одна из команд Вик­то­ренко ока­за­лась оши­боч­ной, Сереб­ров по «ква­тер­ни­о­нам» сразу это заме­тил, ска­за­лись результаты тре­ни­ро­вок. Ошибку испра­вили, сты­ковка была успешно завершена.

Эффек­тив­ность «ква­тер­ни­он­ных» систем управ­ле­ния ори­ен­тацией опре­де­лила их выбор в каче­стве меж­ду­на­род­ного стан­дарта, в част­но­сти, они при­ме­няются на Меж­ду­на­род­ной кос­ми­че­ской станции.

А сей­час ставшие клас­си­кой «ква­тер­ни­он­ные» системы воз­вращаются на Землю, находя при­ме­не­ния в робо­то­тех­нике и даже в современ­ных автомо­би­лях. Есть работа для ква­тер­ни­о­нов и в вир­ту­аль­ном мире — это важ­ный инструмент в системах трёхмер­ной графики и для созда­ния компью­тер­ных игр.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»