Как случается закономерность
Девочка пла­чет: шарик уле­тел.
Её утешают, а шарик летит…
Булат Окуджава

Напол­нен­ные гелием воз­душ­ные шары в моём дет­стве были ред­ко­стью и заво­ражи­вали нас своим стрем­ле­нием ввысь. Теперь, конечно, ими никого не уди­вишь, но всё равно грустно смот­реть вслед упущен­ному и стреми­тельно взмы­вающему вверх шару. Самое время поразмыс­лить о слу­чай­но­сти и зако­номер­но­сти.

Как случается закономерность // Математическая составляющая

Зако­номер­ность, о кото­рой мы будем гово­рить, не в том, что вечно при­клю­ча­ется что-нибудь неже­ла­тель­ное: шарик уле­тает, авто­бус опаз­ды­вает, мяч про­ле­тает мимо ворот и т. д. Уди­ви­тель­ная зако­номер­ность в том, что такая слож­ная система, как воз­душ­ный шар, в целом хорошо опи­сы­ва­ется про­стым зако­ном Архимеда из III века до нашей эры: чтобы удержать шар в рав­но­ве­сии, к нитке должна быть при­ложена сила, рав­ная раз­но­сти веса воз­духа и гелия в объёме шара. Не будет этой силы, и шар нач­нёт уско­ряться вверх.

Ну и что же в этом уди­ви­тель­ного? А то, что перед нами вза­и­мо­действие бес­чис­лен­ного числа моле­кул газа (гелия — внутри шара, азота и кис­ло­рода — сна­ружи) с огром­ным чис­лом моле­кул полиме­ров, из кото­рых сде­ланы сам шар и то, чем он завя­зан (нитка). Хотя газы и гораздо проще полиме­ров, всё равно хоть сколько-нибудь деталь­ное понима­ние их физики воз­никло только в XIX веке, а многие вопросы и до сих пор занимают физи­ков, осо­бенно матема­ти­че­ских. Вспом­нив число Авога­дро и найдя в интер­нете зна­че­ние моляр­ной массы воз­духа, заклю­чаем, что в 29 граммах воз­духа содержится около $6\cdot10^{23}$ моле­кул. И ведь каж­дая из них куда‐то летит, враща­ется, виб­ри­рует, стал­ки­ва­ется с другими моле­ку­лами — состо­я­ние, полагаю, в чём-то хорошо зна­комое каж­дому из нас. Но глядя на такую огром­ную систему в целом, мы видим действия зако­нов физики для газов, функци­о­ни­ро­ва­ние эко­номики в обще­стве и бес­чис­лен­ное множе­ство других про­яв­ле­ний зако­нов больших чисел, когда мак­ро­скопи­че­ская зако­номер­ность воз­ни­кает из мик­ро­скопи­че­ской слу­чай­но­сти. Взять, к при­меру, форму воз­душ­ного шара: без чув­стви­тель­ных при­бо­ров она будет казаться нам глад­кой поверх­но­стью, не меняющейся во времени, словно это чистая матема­ти­че­ская идея, а не что-то, состо­ящее из слож­ных полимер­ных моле­кул.

Глядя на газ, матема­ти­че­ский физик, т. е. чело­век, изу­чающий матема­ти­че­ские модели физи­че­ских явле­ний, не сле­дит за каж­дой отдель­ной моле­ку­лой, а опи­сы­вает про­ис­хо­дящее в терми­нах сред­них зна­че­ний все­возмож­ных наблю­да­емых вели­чин по какой-то обла­сти в про­стран­стве и/или времени. Напри­мер, клас­си­че­ская тройка $$ (\rho,p,T)=(\hbox{плот­ность}, \hbox{дав­ле­ние}, \hbox{темпе­ра­тура}) $$

отражает соот­вет­ственно сред­нее число частиц на еди­ницу объёма, сред­ний импульс, кото­рый частицы пере­дают действи­тель­ным или вооб­ража­емым стен­кам, и сред­нюю кине­ти­че­скую энергию их движе­ния. (Конечно, речь идёт об абсо­лют­ной темпе­ра­туре, т. е. темпе­ра­туре, отсчи­ты­ва­емой от абсо­лют­ного нуля, а не о шка­лах Цель­сия или Фаренгейта, кото­рые отли­чаются от неё на пре­об­ра­зо­ва­ние вида $x\mapsto a x + b$.)

В принципе, можно было бы рас­смот­реть какой-то более длин­ный набор сред­них $$ \vec \sigma = (\rho,p,T,…), $$

но для такой системы, как газ, уже две вели­чины $p$ и $T$ (именно их пере­даёт прогноз погоды) опре­де­ляют все осталь­ные сред­ние. Иными сло­вами, неко­то­рые урав­не­ния (их назы­вают урав­не­ни­ями состо­я­ния) сво­дят все мыс­лимые сред­ние $\vec \sigma (x)$ по маленькой окрест­но­сти какой-то точки $x$ к конеч­ному набору вели­чин, таких как $p$ и $T$.

Это совершенно заме­ча­тель­ный факт, но мы сей­час не будем на нём задержи­ваться. Вме­сто этого спро­сим себя: как эти сред­ние $\vec \sigma (x)$ могут меняться от точки к точке внутри какой‐то системы $\Omega$, напри­мер внутри воз­душ­ного шара? Зако­номер­ность, о кото­рой пой­дёт речь, состоит в том, что рас­пре­де­ле­ние $\vec \sigma (x)$ в $\Omega$ также под­чи­нено очень жёст­ким урав­не­ниям. Любое состо­я­ние, не удо­вле­тво­ряющее этим урав­не­ниям, будет неве­ро­ятно в том смысле, что веро­ят­ность его реа­ли­за­ции будет совершенно ничтожна по всем разум­ным мер­кам.

Веро­ят­ность — это очень важ­ное и слож­ное поня­тие, но при пер­вом озна­ком­ле­нии (да и в конеч­ном итоге) его можно пред­став­лять себе так. Если у нас есть 1000 рав­но­ве­ро­ят­ных возмож­ных исхо­дов и только в трёх из них про­ис­хо­дит какое-то событие, то веро­ят­ность этого события есть 0,003. Легко пове­рить, что у такого рода дис­крет­ного под­счёта есть непре­рыв­ный ана­лог, при кото­ром веро­ят­ность того, что слу­чай­ное веще­ствен­ное число $х$ между 0 и 10 окажется меньше $π$, есть 0,314159… Всё непре­рыв­ное можно сколь угодно хорошо при­бли­зить дис­крет­ным, и если отре­зок от 0 до 10 раз­де­лить на мил­лион рав­ных частей, то непре­рыв­ное событие $\{ x < π \}$ можно при­бли­зить событием $\left\{ x \le \frac{314159}{100000}\right\}$. Для понима­ния сути обсуж­да­емых нами явле­ний раз­ница между дис­крет­ным и непре­рыв­ным не суще­ственна. Будем счи­тать, что коор­ди­наты и все другие параметры, опи­сы­вающие движе­ние моле­кул, округ­ляются с точ­но­стью до какого-то очень маленького числа $\varepsilon$ и поэтому при­нимают какое-то гигант­ское, но конеч­ное число возмож­ных зна­че­ний. В част­но­сти, на неко­то­рой очень малой шкале, срав­нимой с $\varepsilon$, мы можем наблю­дать только конеч­ное число состо­я­ний. Кстати, совсем необя­за­тельно предпо­лагать, что все эти элемен­тар­ные состо­я­ния рав­но­ве­ро­ятны, про­сто надо счи­тать их вклад в веро­ят­ность с соот­вет­ствующими весами. Ни одно из после­дующих рас­суж­де­ний от этого не изме­нится.

Как нам оце­нить веро­ят­ность уви­деть состо­я­ние газа в обла­сти $\Omega$ с задан­ными $\vec \sigma(x)$? Мыс­ленно разо­бьём нашу область $\Omega$ на большое число под­об­ла­стей $\Omega_i$. Пусть, с одной сто­роны, $\Omega_i$ так малы, что коор­ди­наты $x$ и функции $\vec \sigma(x)$ в них можно счи­тать посто­ян­ными, а с дру­гой сто­роны, в моле­ку­ляр­ном масштабе так велики, что про­ис­хо­дящее внутри одной из них мало вли­яет на осталь­ные. В воз­духе, напри­мер, моле­кулы стал­ки­ваются, про­ле­тев порядка $10^{-8}$ метра, а на много бóльших рас­сто­я­ниях ведут себя прак­ти­че­ски неза­ви­симо. Что зна­чит неза­ви­симо? Это зна­чит, что число возмож­ных мик­ро­скопи­че­ских состо­я­ний системы есть, в глав­ном при­ближе­нии, про­из­ве­де­ние числа всех возмож­ных состо­я­ний под­си­стем в каж­дой $\Omega_i$. Тут удобно взять от всего лога­рифмы, ибо лога­рифмы пере­во­дят про­из­ве­де­ния в суммы. Полу­чим $$ \ln \mathop{\rm P}\nolimits(\hbox{уви­деть } \vec\sigma(x) \hbox{ в } \Omega) ≈ \sum\limits_{i=1}^N S(\Omega_i,\vec\sigma(x_i)) - C, $$

где $S(\Omega_i,\vec\sigma(x_i))$ есть лога­рифм числа состо­я­ний внутри $\Omega_i$ с задан­ным зна­че­нием $\vec\sigma$ в какой-то точке $x_i\in \Omega_i$, а посто­ян­ная $C$ не зави­сит от $\vec\sigma(x)$ и есть лога­рифм числа всех вообще возмож­ных состо­я­ний системы. В ста­ти­сти­че­ской физике лога­рифм числа возмож­ных мик­ро­скопи­че­ских состо­я­ний при задан­ном мак­ро­скопи­че­ском назы­ва­ется энтропией, это очень важ­ное поня­тие.

Каж­дую из под­об­ла­стей $\Omega_i$ можно ровно так же измель­чать дальше. Поскольку функция $\vec\sigma$ уже прак­ти­че­ски посто­янна в $\Omega_i$, это не даст ничего принци­пи­ально нового, и, зна­чит, $S(\Omega_i,\vec\sigma(x_i))$ прямо про­порци­о­нальна объёму $|\Omega_i|$ обла­сти $\Omega_i$. Чтобы найти коэффици­ент про­порци­о­наль­но­сти, вспом­ним, что по нашему предпо­ложе­нию лога­рифм числа состо­я­ний в кубике $❒$ с цен­тром $x_i$ и сто­ро­ной $\varepsilon$ коне­чен и равен какому‐то числу $S(x_i, \vec\sigma(x_i)):=S(❒, \vec\sigma(x_i))$. Поэтому $$ S(\Omega_i,\vec\sigma(x_i)) = \frac{|\Omega_i|}{\varepsilon^3}\> S(x_i,\vec\sigma(x_i)). $$

Матема­тики давно поняли важ­ность опе­рации сумми­ро­ва­ния какой-нибудь функции по всё более мел­ким раз­би­е­ниям какой-нибудь обла­сти $\Omega$ и при­думали ей спе­ци­аль­ное назва­ние — интеграл. По опре­де­ле­нию интеграла $$ \int\limits_{\Omega} S(x,\vec\sigma(x))  dx = \lim \sum\limits_i S(x_i,\vec\sigma(x_i))   |\Omega_i| , $$

где пре­дел берётся по измель­че­ниям раз­би­е­ний и $x_i \in \Omega_i$. Для крат­ко­сти будем иногда сокращать это обо­зна­че­ние до $\int\limits_\Omega S   dx$.

Соби­рая всё вме­сте, мы полу­чаем, что $$ \ln \mathop{\rm P}\nolimits(\hbox{уви­деть } \vec\sigma(x) \hbox{ в } \Omega) \propto \exp \left(\frac{1}{\varepsilon^{3}} \int\limits_{\Omega} S d x\right) = \exp \left(\frac{1}{\varepsilon^{3}}\right) ^ { \int\limits_{\Omega} S d x } $$

где знак $\propto$ чита­ется «про­порци­о­нальна», а коэффици­ент этой про­порци­о­наль­но­сти под­би­ра­ется так, чтобы сумма всех веро­ят­но­стей рав­ня­лась еди­нице. Вдума­емся в эту формулу. Она гово­рит, что веро­ят­но­сти раз­лич­ных состо­я­ний системы раз­ли­чаются на неко­то­рую степень числа $\exp\Bigl(\frac1{ \varepsilon^3}\Bigr)$, где $\varepsilon$ — это размер слабо вза­и­мо­действующих под­си­стем, на кото­рые наша система может быть раз­бита. При­киньте, о какого размера числе мы гово­рим для кубометра воз­духа, это совершенно гигант­ское число! Поэтому веро­ят­ность уви­деть любое состо­я­ние, для кото­рого интеграл $\int\limits_{\Omega} S   dx$ не мак­сима­лен, абсо­лютно ничтожна, этого не слу­чится никогда. И все­гда слу­чится то состо­я­ние $\vec\sigma(x)$, при кото­ром этот интеграл достигает мак­симума. Усло­вие мак­симума $\int\limits_{\Omega} S(x,\vec \sigma(x))   dx$ есть обещан­ное урав­не­ние на рас­пре­де­ле­ние $\vec \sigma(x)$ внутри $\Omega$.

Раз­дел матема­тики, заня­тый поис­ком мак­симумов интегра­лов, назы­ва­ется вари­аци­он­ным исчис­ле­нием. Он воз­ник давно и ока­зался очень поле­зен, напри­мер, в реше­нии задач клас­си­че­ской меха­ники и клас­си­че­ской тео­рии поля. Вслед за Лагранжем, урав­не­ния движе­ния нью­то­но­вой меха­ники и всех ана­логич­ных ей наук можно пере­пи­сать как урав­не­ния на мак­симум неко­то­рого интеграла. Мы только что видели, что подоб­ное опи­са­ние может быть полу­чено не акси­о­ма­ти­че­ски, а исходя из мик­ро­скопи­че­ских принци­пов. (По очень похожей схеме можно выве­сти клас­си­че­скую меха­нику из кван­то­вой меха­ники, роль вели­чины $\varepsilon^3$ будет играть посто­ян­ная Планка.) То, что клас­си­че­ская меха­ника счи­тает усло­вием рав­но­ве­сия, ста­ти­сти­че­ская меха­ника интер­пре­ти­рует как усло­вие оптималь­но­сти, усло­вие мак­си­ми­за­ции веро­ят­но­сти слу­читься.

Принци­пи­аль­ную важ­ность этого принципа для ста­ти­сти­че­ской меха­ники можно срав­нить с ролью эво­люци­он­ного под­хода к зада­чам био­логии. Эво­люция сама чётко отби­рает самые жиз­не­стойкие из всего вели­кого множе­ства био­логи­че­ских форм; совершенно ана­логично, ста­ти­сти­че­ская физика отбра­сы­вает все вари­анты, кроме самого веро­ят­ного. Разуме­ется, законы физики и химии лежат в основе функци­о­ни­ро­ва­ния живой при­роды, и это срав­не­ние не более чем попытка при­бли­зить законы мик­ромира к нашей жиз­нен­ной инту­иции. Однако подоб­ного рода орга­ни­зующие принципы чрез­вы­чайно важны для работы учё­ных, и, я надеюсь, чита­тель задума­ется о том, как много вокруг нас объяс­ня­ется тем, что наш мир есть самый слу­чай­ный из всех возмож­ных миров.

На самом деле в наших выво­дах мы слегка забежали впе­рёд. Не может быть, чтобы раз­ные под­об­ла­сти $\Omega_i$ были совершенно неза­ви­симы, ибо если масса и энергия заперты в нашей системе, то для них должны выпол­няться законы сохра­не­ния. Это озна­чает, что мак­симум мы ищем не среди всех возмож­ных $\vec\sigma(x)$, а только среди тех, для кото­рых фик­си­ро­вана $$ \hbox{суммар­ная энергия} = \int\limits_\Omega E(x)   dx , $$

где $E(x)$ есть плот­ность энергии, одно из сред­них в наборе $\vec\sigma(x)$. Ана­логично могут быть вве­дены другие огра­ни­че­ния на $\vec\sigma(x)$: напри­мер, если на стен­ках кон­тей­нера под­держи­ва­ется задан­ная темпе­ра­тура, то воз­ни­кают гра­нич­ные усло­вия. Вари­аци­он­ное исчис­ле­ние умеет справ­ляться с поис­ком такого рода услов­ных мак­симумов. Если чита­тель умеет решать задачи на мак­симум, то очень рекомен­дую ему сесть и про­ве­рить, что рас­пре­де­ле­ние энергии по системе оптимально, если $$ \frac{\partial S(x,\vec\sigma(x))}{\partial E} = \hbox{одна и та же посто­ян­ная для всех } x \in \Omega. $$

А тем, кого подоб­ные задачи пока ещё смущают, объясню этот ответ. Давайте мыс­ленно переме­стим очень малое коли­че­ство энергии $\delta E$ из точки $x_1\in \Omega$ в точку $x_2\in \Omega$. Как изме­нится при этом $\int\limits_{\Omega} S(x,\vec\sigma(x))   dx$? Понятно, что на вели­чину порядка $\delta E \>\Bigl( \frac{\partial S(x,\vec\sigma(x))}{\partial E(x)} {\Big|_{x=x_2}} - \frac{\partial S(x,\vec\sigma(x))}{\partial E(x)} {\Big|_{x=x_1}} \Bigr)$, кото­рая не может быть ни положи­тель­ной, ни отрица­тель­ной, если рас­пре­де­ле­ние энергии оптимально. Зна­чит, эта вели­чина равна нулю, что и есть усло­вие посто­ян­ства $\frac{\partial S(x,\vec\sigma(x))}{\partial E}$. Кстати, та же самая матема­ти­че­ская задача об оптималь­ном рас­пре­де­ле­нии ресурса, суммар­ное коли­че­ство кото­рого фик­си­ро­вано, встре­ча­ется в массе других кон­тек­стов, вклю­чая напри­мер матема­ти­че­скую эко­номику. Про­думав эту задачу еди­ножды, чита­тель сэко­номит себе много времени в будущем.

На самом деле посто­ян­ная $\frac{\partial S(x,\vec\sigma(x))}{\partial E}$ есть вели­чина, обрат­ная темпе­ра­туре. С мик­ро­скопи­че­ской точки зре­ния равен­ство $$ \frac{1}{\hbox{темпе­ра­тура}}=\frac{\partial S(x,\vec\sigma(x))}{\partial E} $$

есть про­сто опре­де­ле­ние темпе­ра­туры. В самом деле, вели­чина $\Big(\frac{\partial S}{\partial E}\Big) {\vphantom{\frac12}}^{-1}$, во-пер­вых, посто­янна по любой рав­но­вес­ной системе, во-вто­рых, изме­ря­ется в еди­ни­цах энергии и, в-тре­тьих, совпа­дает с клас­си­че­ским опре­де­ле­нием темпе­ра­туры для иде­аль­ного газа с точ­но­стью до системы еди­ниц.

Энергия уни­вер­сальна, и все её формы могут пре­вращаться друг в друга. Реаль­ное или, по край­ней мере, вооб­ража­емое вза­и­мо­действие любых двух физи­че­ских систем, при кото­ром про­ис­хо­дит обмен энергией, поз­во­ляет, выбрав шкалу темпе­ра­тур, скажем, для воз­духа, пере­не­сти её на другие системы.

А вот ещё одно про­стое след­ствие наших формул и нового опре­де­ле­ния темпе­ра­туры через про­из­вод­ную энтропии по энергии. Рас­смот­рим маленькую под­си­стему $\Omega_i$ внутри всей большой системы $\Omega$. Она может быть настолько мала, что мы можем счи­тать её одним из наших куби­ков $❒$. Под­си­стема $\Omega_i$ может обме­ни­ваться энергией с осталь­ной системой $\Omega\setminus \Omega_i$, поэтому её энергия $E_i$ не фик­си­ро­вана. То, что под­си­стема при­об­ре­тает, оста­ток системы теряет, и, в част­но­сти, если в наш кубик $❒$ доба­вится какая-то энергия $\delta E$, то, по форму­лам, кото­рыми мы только что поль­зо­ва­лись, состо­я­ние в $\Omega\setminus \Omega_i$ поте­ряет $$ {\exp\Bigl(-\delta E \> \frac{\partial S}{\partial E}\Bigr) = \exp\Bigl(-\frac{\delta E}{T}\Bigr)} $$

общим множи­те­лем в своей веро­ят­но­сти. Вывод: если энергия $E_i$ внутри $\Omega_i$ не фик­си­ро­вана, а опре­де­ля­ется рав­но­ве­сием с огром­ной внеш­ней системой темпе­ра­туры $T$, то это даёт множи­тель $\exp\Bigl(-\frac{E_i}T\Bigr)$ в рас­пре­де­ле­ние веро­ят­но­стей внутри $\Omega_i$. Это назы­ва­ется рас­пре­де­ле­нием Гиббса. Совершенно заме­ча­тельна уни­вер­саль­ность множи­теля $\exp\Bigl(- \frac ET\Bigr)$. Действи­тельно, для любой системы мы все­гда можем предпо­ложить суще­ство­ва­ние зна­чи­тельно большей объем­лющей системы, и любые две системы, в принципе, можно при­ве­сти в неза­ви­симый кон­такт с эта­ким гигант­ским общим резер­ву­а­ром энергии.

Кстати, очень часто функция $S(x,\vec\sigma(x))$ не зави­сит явно от коор­ди­наты $x$, и мак­симум интеграла часто достига­ется на посто­ян­ной функции $\vec\sigma(x) = \vec\sigma_{\mathrm{макс}}$. И действи­тельно, если к системе не при­ложено внеш­них сил, есте­ственно ожи­дать, что темпе­ра­тура и дав­ле­ние в ней вырав­няются. При­чём вырав­ни­ва­ние это про­изой­дёт исклю­чи­тельно быстро, что можно уви­деть, оце­нив веро­ят­ность наблю­дать задан­ные зна­че­ния $\vec\sigma(x,t)$ как функцию и коор­ди­наты $x$, и времени $t$.

Что же каса­ется нашего воз­душ­ного шара, то тут внеш­ние силы как раз при­ложены, а именно тяго­те­ние Земли. Нерав­но­мер­но­стями процес­сов нагрева атмо­сферы в этих масшта­бах можно пре­не­бречь, так что темпе­ра­туру мы будем счи­тать посто­ян­ной, а вот дав­ле­нию при­дётся зави­сеть от $x$. Легко пове­рить и легко про­ве­рить, что рав­но­ве­сие ста­ти­сти­че­ское вос­про­из­ве­дёт усло­вие рав­но­ве­сия меха­ни­че­ского — дав­ле­ние на раз­ных высо­тах $h_1$ и $h_2$ должно отли­чаться ровно настолько, чтобы под­держи­вать вес газа между $h_1$ и $h_2$. Кстати, заин­те­ре­со­ван­ный чита­тель легко выве­дет из этого факта и урав­не­ние состо­я­ния $$ p=\hbox{const}  \rho T $$

для иде­аль­ного газа, и что с уве­ли­че­нием высоты на интер­ва­лах, где темпе­ра­тура почти не меня­ется, дав­ле­ние и плот­ность газов в атмо­сфере падают экс­по­ненци­ально.

Мы не будем в это углуб­ляться, а про­сто заме­тим, что гелий легче воз­духа. Поэтому дав­ле­ние в нём убы­вает с высо­той мед­лен­нее, чем в воз­духе. Зна­чит, никак невозможно урав­но­ве­сить дав­ле­ние внутри и вне гели­е­вого шара в поле тяже­сти Земли. Сле­до­ва­тельно, моле­кулы газа будут сообщать нену­ле­вой суммар­ный импульс моле­ку­лам полимера в шаре, а те, в свою оче­редь, через свою слож­ную ста­ти­сти­че­скую меха­нику, пере­да­дут эту силу полиме­рам в нитке и, в конце концов, нашему телу и нерв­ным окон­ча­ниям в нём. Захва­ты­вающая кар­тина! Столько всего инте­рес­ного в матема­ти­че­ской физике, уже и не так жалко уле­тевшего шара…

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Лите­ра­тура

Смо­ро­дин­ский Я. А. Темпе­ра­тура. — М.: Наука, 1981. — (Биб­лио­течка «Квант»; Вып. 12).