Cтр. 28

Объём шкурки апельсина
Поделиться…

Вы купили апельсин и разрезали его пополам. Можно ли, глядя на половинку апельсина, определить, чего в ней больше — кожуры или мякоти?

Вопрос кажется странным, ведь кожура — это тонкий слой, край апельсина (будем считать, что апельсин имеет форму шара). Оказывается, что относительно тонкий слой на границе шара имеет тот же объём, что и вся остальная часть. Например, у апельсина диаметром 10 см c кожурой толщиной 1 см почти половина всего объёма сосредоточена в кожуре!

Давайте проверим. Рассмотрим два шара радиусов $R$ и $r$ ($r<R$). Каким должен быть радиус меньшего шара, чтобы его объём составлял половину объёма большого?

Объём шара радиуса $R$ равен $V_R=(4/3) π R^3$.
Для нахождения $r$ запишем уравнение
$V_r=V_R-V_r$, или $(4/3) π r^3=(4/3) π R^3-(4/3) π r^3$
Из него следует что $R^3=2r^3$, т. е.
$r=R/\sqrt[3]{2} ≈ 0,79R ≈ (4/5) R$

Таким образом, почти половина объёма шара сосредоточена в слое около поверхности толщиной всего лишь $1/5$ радиуса.

В представленном на рисунке апельсине кожуры и мякоти поровну.

Поясним читателю выбор формы уравнения: $V_r=V_R-V_r$ вместо естественного $V_R=2V_r$. Это сделано, чтобы напомнить одну идею, часто встречающуюся в геометрии и полезную при решении житейских задач, — фигура, для площади или объёма которой нет готовой формулы, представляется как разность «известных» фигур.