Теоретическая физика и современная математика

Тео­ре­ти­че­ская физика все­гда рас­смат­ри­ва­лась в неко­то­ром смысле как матема­тика реаль­ного мира, как основ­ной источ­ник матема­ти­че­ских идей начи­ная с XVII века, как основ­ная движущая сила для 90% матема­ти­ков и основ­ная свя­зующая нить между матема­ти­кой и осталь­ными есте­ствен­ными нау­ками.

В XX веке тео­ре­ти­че­ская физика достигла сво­его наи­высшего расцвета, она стала глав­ной точ­ной нау­кой. Вели­кие лидеры тео­ре­ти­че­ской физики были спо­собны исполь­зо­вать, а иногда и созда­вать очень глу­бо­кие абстракт­ные матема­ти­че­ские тео­рии, когда это было нужно для иссле­до­ва­ния реаль­но­сти. Язык матема­тики и тех­ника тео­ре­ти­че­ской физики были спе­ци­ально раз­ра­бо­таны как наи­лучшие матема­ти­че­ские инструменты для иссле­до­ва­ния про­блем реаль­ного мира. Были открыты новые законы при­роды, в наши дни на их основе раз­ра­бо­таны новые тех­но­логии неве­ро­ят­ной прак­ти­че­ской эффек­тив­но­сти, и это навсе­гда изме­нило наш мир.

На про­тяже­нии нескольких сто­ле­тий задача реше­ния (интегри­ро­ва­ния) диффе­ренци­аль­ных урав­не­ний, опи­сы­вающих явле­ния при­роды, была цен­траль­ной во вза­и­мо­действии физики и матема­тики.

Всем известно, какую роль сыг­рала решён­ная Нью­то­ном знаме­ни­тая про­блема двух тел в раз­ви­тии матема­ти­че­ских мето­дов физики. В тече­ние долгого времени после этого нахож­де­ние точ­ного ана­ли­ти­че­ского реше­ния диффе­ренци­аль­ных урав­не­ний оста­ва­лось основ­ным инструмен­том матема­ти­че­ской физики: если задача была или выгля­дела слиш­ком труд­ной, то надо было её упро­стить, а затем искать точ­ное реше­ние.

Много уси­лий было потра­чено на поиск спе­ци­аль­ных «интегри­ру­емых слу­чаев» таких знаме­ни­тых задач, как, напри­мер, задача о движе­нии волчка. Ради этого в XIX веке откры­вали и раз­ра­ба­ты­вали все матема­ти­че­ские методы, вклю­чая степен­ные и триго­номет­ри­че­ские ряды, интеграль­ное пре­об­ра­зо­ва­ние Фурье—Лапласа, комплекс­ный ана­лиз, сооб­раже­ния симмет­рии. Иногда эти методы при­во­дили к заме­ча­тель­ным отрица­тель­ным результа­там — дока­за­тельствам того, что та или иная модель нераз­решима в принципе.

В XIX веке были открыты неко­то­рые стран­ные интегри­ру­емые слу­чаи, в кото­рых ника­кой оче­вид­ной симмет­рии не про­смат­ри­ва­лось: интегри­ру­емость гео­де­зи­че­ского потока на двумер­ных эллип­со­и­дах в трёхмер­ном евкли­до­вом про­стран­стве (Якоби), движе­ние волчка со спе­ци­аль­ными парамет­рами в посто­ян­ном поле сил тяже­сти (Кова­лев­ская) и неко­то­рые другие. Какая же скрытая симмет­рия стоит за всем этим? Ответ был неясен до появ­ле­ния тео­рии соли­то­нов.

Соли­тоны (или уеди­нён­ные волны) на воде были известны ещё в XIX веке, но с появ­ле­нием пер­вых компью­те­ров в 1960‐х годах стали возможны чис­лен­ные экс­пе­рименты, пока­завшие новые заме­ча­тель­ные свойства этих нели­ней­ных волн. Их матема­ти­че­ское объяс­не­ние при­вело к созда­нию тео­рии интегри­ру­емых соли­тон­ных моде­лей, свя­завшей раз­лич­ные раз­делы матема­тики и физики. В этом ряду: нели­ней­ные волны в сплош­ной среде (вклю­чая тео­рию плазмы и нели­ней­ную оптику); кван­то­вая тео­рия, тео­рия рас­се­я­ния и пери­о­ди­че­ские кри­сталлы; гамильто­нова динамика; алгеб­ра­и­че­ская геомет­рия рима­но­вых поверх­но­стей и абе­ле­вых много­об­ра­зий (тета-функции).

Выдвину сле­дующий тезис: зна­чи­тель­ная часть наи­бо­лее важ­ных открытий в матема­тике и матема­ти­че­ской физике была сде­лана в процессе раз­ви­тия тео­рии интегри­ру­емых моде­лей.

В 70‐е годы XX века в сотруд­ни­че­стве матема­ти­ков и физи­ков про­изошли важ­ные сдвиги. Напри­мер, с помощью результа­тов топо­логии были объяс­нены важ­ные экс­пе­римен­таль­ные наблю­де­ния, ждавшие этого в тече­ние полу­века. В начале 80‐х физики были еди­но­душны в том отноше­нии, что глав­ное, что физики взяли из матема­тики за послед­ние 10 лет, — это топо­логия.

В то же время в топо­логии начали при­ме­нять открытия, сде­лан­ные физи­ками. Напом­ним, что из тео­рии авто­ду­аль­ного урав­не­ния Янга—Миллса выросла тео­рия инстан­то­нов с её заме­ча­тель­ными при­ложе­ни­ями к четырёхмер­ной топо­логии. Тео­рия урав­не­ния Янга—Бак­с­тера при­вела к тео­рии поли­номов Джонса в тео­рии узлов. Знаме­ни­тые двумер­ные конформ­ные тео­рии поля дали множе­ство интегри­ру­емых моде­лей, также пред­став­ляющих собой новые алгеб­ра­и­че­ские объекты, имеющие глу­бо­кие связи с тео­рией соли­то­нов и кван­то­выми группами.

В послед­нее деся­ти­ле­тие, уже в XXI веке, матема­ти­че­ские идеи, при­шед­шие от тео­ре­ти­че­ских физи­ков, ока­зали большое вли­я­ние на раз­ви­тие алгеб­ра­и­че­ской геомет­рии. Вза­и­мо­действие матема­тики и тео­ре­ти­че­ской физики не пре­кра­ти­лось, достиже­ния каж­дой из этих наук обогащают и другую.

В заклю­че­ние хочу обра­титься с поже­ла­нием к моло­дым матема­ти­кам: расши­ряйте спектр посеща­емых науч­ных семи­на­ров и по матема­тике, и по физике. Наби­рай­тесь понима­ния, кото­рое про­явится, пусть и со време­нем.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»