Cтр. 20

Математические модели механики
Поделиться…

Механика — наука о движении и равновесии тел и сплошных сред под действием сил различной природы и о взаимодействиях, процессах, которые сопутствуют этим движениям.

Ряд разделов механики связан с основным значением слова «механика» у древних греков — наука о машинах, механизмах. И в наше время создание новых самолётов, судов, ракет, автомобилей — всё это области приложения механики. Ещё одна задача механики — разработка методов управления подобными системами, например, полётом ракеты или движениями робота. К предмету исследования механики относятся и такие области знаний, как прогнозирование погоды, основанное на расчёте сложных движений атмосферы, связанных с переносом тепла и влаги, или изучение системы кровообращения человека в здоровом состоянии и состоянии болезни, конструирование новых материалов.

Один из основных методов современной механики — создание и исследование математических моделей изучаемых явлений. При рассмотрении сложных процессов невозможно полностью учесть все обстоятельства и процессы, которые связаны с изучаемым явлением. Поэтому в механике (да и вообще в науке) изучение реального явления заменяют изучением его модели. Модель — это представление (схема) явления, более простое, чем оригинал, но отражающее его основные свойства. Математическая модель — описание этой схемы математическим языком. Важное требование — математическая модель должна быть такой, чтобы при её изучении можно было надеяться на получение результатов, отражающих существенные свойства исследуемого явления. Как правило, отсутствие решений у какой–либо математической задачи в рамках выбранной модели свидетельствует о её несоответствии реально наблюдаемому процессу, т. е. о том, что выбранная модель требует корректировки.

Существуют стандартные, общеупотребительные модели, например, материальная точка, абсолютно твёрдое тело, упругая сплошная среда, различные модели упругопластических сред, идеальная (невязкая) жидкость и газ, вязкие жидкости и газы, модели смесей и многие другие. Моделируются не только объекты изучения, но также способы их взаимодействия, т. е. вводятся понятия различного рода сил и полей, понятия потоков тепла, диффузии и т. д. Главные инструменты в этих моделях — дифференциальные уравнения.

Искусство учёного–механика состоит в том, чтобы при рассмотрении явлений и решении технических проблем выбрать наиболее простую модель, адекватно описывающую изучаемый процесс. Например, земную кору в медленно протекающих процессах, длящихся десятки тысяч лет, рассматривают как очень вязкую жидкость, в то время как при землетрясениях земная кора моделируется как упругое тело. Движение металла при кумулятивном пробивании брони в классической модели М. А. Лаврентьева описывается как течение идеальной, т. е. невязкой, жидкости. Основанием для возможности подобного описания служит то, что при гигантских скоростях прочностные свойства металла кумулятивной струи и брони оказываются ничтожными по сравнению с силами давления, которое возникает в результате инерционных эффектов. С другой стороны, при взаимодействии водяной струи с ударяющей по ней быстро летящей пулей струя разваливается на куски (обломки, а не капли), как твёрдое тело.

Как и в каждой развивающейся науке, в механике постоянно разрабатываются новые модели. Например, в середине XX века были созданы и ныне активно используются модели жидкостей и газов, взаимодействующих с электромагнитным полем, — магнитная гидродинамика, электрогидродинамика, гидродинамика намагничивающихся жидкостей.

Между математиками и механиками нет чёткой границы. Своими работами механики развивают и математику, формулируя и решая новые математические задачи. У многих математиков предметом гордости являются результаты, имеющие отношение к механике.

Особенность работы учёного–механика — стремление понять внутренние механизмы изучаемого явления. Эта работа предшествует выбору модели, а её результаты позволяют механикам, полагаясь на интуицию, использовать и те модели, в которых для поставленных задач ещё не доказаны теоремы существования и единственности решений. Так, уже более полутора веков активно используется модель течения вязкой жидкости Навье—Стокса, в то время как теорема существования и единственности для этой модели до сих пор не доказана.

Сложность современных математических моделей в механике, переплетение в них физических, геометрических и других характеристик процессов приводят к необходимости применения всех средств современной математики. В одних случаях для решения задачи достаточно применения существующих методов и подходов, в других — требуется разработка нового математического аппарата.

Литература

  • Чёрный Г. Г. Слово о вечно новой механике. — М.: МГОФ «Знание», 2011.