Cтр. 32

Графен
Поделиться

Графен — один из самых интересных материалов, известных человечеству. Это первый двумерный материал — толщина графена всего один атом. В графене атомы углерода соединены в двумерную решётку из правильных шестиугольников.

Графен можно представить себе как один слой графита — слоистого материала, из которого, например, состоит грифель простого карандаша. Слои графита соединены между собой слабым ван‐дер‐ваальсовым взаимодействием, вследствие чего графит легко расслаивается, что и обеспечивает возможность его использования в карандашах: при трении тонкие слои графита отслаиваются и остаются в виде чешуек на поверхности бумаги. Удивительно, но именно так и были получены первые образцы графена — он просто был отщеплён от кристалла высококачественного графита обычной липкой лентой.

Несмотря на некоторую прозаичность получения, графен обладает целым букетом необычных физических свойств. Причём эти свойства часто отличаются от свойств не только исходного графита, но и двуслойного графена. Например, графен является замечательным проводником электричества и может выдерживать плотности тока, на порядки превышающие те, которые могут пропускать такие проводники, как медь или золото. Причём проводимостью графена можно управлять в широких пределах, что позволяет использовать его во многих электронных и оптоэлектронных приборах. Так, уже промышленно выпускаются фотодетекторы на основе графена, которые могут работать в сверхшироком диапазоне длин волн. А графеновые электронно‐оптические модуляторы позволят в будущем значительно увеличить пропускную способность сетей Интернета. Графен также обладает рекордно высокой теплопроводностью и уже сейчас используется во многих мобильных телефонах и планшетах для эффективного теплоотвода. Список уникальных свойств графена и основанных на них применениях можно продолжать очень долго.

Ещё одно применение графена связано с измерением на нём квантового эффекта Холла. Этот эффект состоит в том, что в сильных магнитных полях сопротивление двумерного образца (где электроны могут передвигаться только в плоскости), измеренное вдоль тока, зануляется (не путать со сверхпроводимостью), а измеренное поперёк тока (холловское сопротивление) — принимает квантованные значения в единицах $h\over ne^2$ (здесь $h$ — постоянная Планка, $\textit {е}$ — заряд электрона, $n$ — целое число). За открытие этого эффекта в двумерном электронном газе на поверхности кремния Клаусу фон Клитцингу в 1985 году была присуждена Нобелевская премия по физике. Поскольку холловское сопротивление определяется только фундаментальными постоянными, этот эффект используется в качестве стандарта сопротивления во всех метрологических лабораториях мира.

Оказалось, что квантовый эффект Холла в графене имеет свои особенности из‐за того, что электроны в этом материале ведут себя как безмассовые частицы (а это является следствием сотовидной решётки графена). Квантование сопротивления в графене наблюдается при относительно высоких температурах (порядка 1 Кельвин) и в относительно низких магнитных полях (несколько Тесла), в то время как в других материалах для достижения той же точности необходимо было опускаться до температур ниже 0,1 К и достигать магнитных полей выше 10 Тл, что сопряжено с определёнными технологическими трудностями. Существует несколько причин, почему квантовый эффект Холла настолько устойчив в графене; одна из них — то, что энергетический уровень в графене, возникающий в магнитном поле (так называемые уровни Ландау) при нулевой энергии (как раз тот уровень, который даёт наиболее устойчивое квантование), является топологически защищённым.

Существование энергетического уровня точно при нулевой энергии является следствием математической теоремы Атьи—Зингера об индексе. В применении к случаю графена эта теорема гласит, что индекс гамильтониана (числовая характеристика оператора, задающего поведение системы) определяется исключительно полным потоком магнитного поля через образец. Поэтому даже в пределе больших магнитных полей на нулевом уровне остаются электроны способные переносить заряд. Причём неоднородности магнитного поля, которые могут возникать по причине, например, изогнутости плёнки графена, никак не влияют на количество электронов на нулевом уровне. Изгиб и стабильность двумерных мембран — это ещё одна интересная математическая задача, которая обрела практическую значимость в связи с появлением графена.

Теорема Атьи—Зингера заложила основу целого раздела математики — теории индекса. Эта теория, связывающая анализ и топологию, в настоящее время активно используется в физике при изучении топологических свойств физических объектов.

Литература

Katsnelson M. I. Graphene: Carbon in Two Dimensions. — Cambridge University Press, 2012. — [Монография для специалистов].

 
  • © 2015—2019 Авторы статей
  • © 2015—2019 Фонд «Математические этюды»
  • © 2015—2019 Математический институт им. В. А. Стеклова РАН