Cтр. 66

Музыкальный строй
Поделиться…

Музыкальный строй — это система сопоставления нот (знаков, обозначений) и звуковых частот. Периодом музыкального строя является октава — интервал между нотами, частоты которых отличаются в два раза. Традиционно октава состоит из 12 ступеней. Например, на клавиатуре рояля она представлена семью основными (белыми) клавишами и пятью дополнительными (чёрными).

Применяемый в наши дни музыкальный строй допускает прозрачное и изящное математическое описание.

Появление в первой половине XVIII века сочинения Иоганна Себастьяна Баха «Хорошо темперированный клавир» канонизировало равномерно темперированный строй — музыкальный строй, в котором отношение звуковых частот соседних нот является величиной фиксированной. Будем обозначать это отношение через $q$ (большей частоты к меньшей, $q>1$).

Таблица частот нот равномерно темперированного строя может быть представлена в виде двусторонней последовательности, в которой соединены две геометрические прогрессии.

В качестве точки отсчёта берётся нота «ля» первой октавы, пусть $f_1$ — её частота. Правая ветвь последовательности — возрастающая геометрическая прогрессия $f_1$, $f_1q$, $f_1q^2$, …, её знаменатель равен $q$. Левая ветвь — убывающая геометрическая прогрессия $f_1$, $f_1/q$, $f_1/q^2$, … со знаменателем $1/q$.

Зная на сколько выбранная нота отстоит от «точки отсчёта», можно выписать формулу, связывающую частоты этих двух нот. Например, для правой ветви элемент геометрической прогрессии с номером $n$ вычисляется по формуле $f_n=f_1\cdot q^{n-1}$.

По определению октавы $f_{n+12}=2\cdot f_n$. С другой стороны, для элементов геометрической прогрессии $f_{n+12}=f_n\cdot q^{12}$.
Значит, $f_n\cdot q^{12}=2\cdot f_n$, откуда $q^{12}=2$. Следовательно, для октавы из 12 ступеней равномерно темперированного строя фундаментальной характеристикой, мультипликативным (т. е. по умножению) шагом, определяющим «равномерность» движения по последовательности частот, является число $q=\sqrt[12]{2}=1{,}059463…$

Фиксация значения частоты ноты «ля» (например, по камертону) полностью определяет частоты всех нот равномерно темперированного строя. В наши дни каноническим вариантом является значение $f_1=440$ Гц.

В восприятии человеком мелодии отношение частот звучащих (последовательно или одновременно) нот важнее, чем их абсолютные величины. Именно это обстоятельство привело к осознанной необходимости выбора частот музыкального строя по «мультипликативному» принципу.

Постоянство «мультипликативного» шага у равномерно темперированного строя обусловило его главное преимущество перед историческими предшественниками — возможность сдвигать музыкальные мелодии на произвольное число ступеней. При сдвиге фрагмента отношение частот соседних нот остаётся неизменным, а следовательно, сохраняется и мелодический рисунок.

Дополнительная информация

  • При настройке роялей в Большом зале Московской консерватории (БЗК) частота ноты ля первой октавы принимается равной 442 Гц.
  • Интересная иллюстрация (дополнительная), демонстрирующая неслучайность равномерного распределения, приведена в статье М. Концевича.

Литература

  • Шилов Г. Е. Простая гамма. Устройство музыкальной шкалы. — М.: Физматлит, 1963. — (Популярные лекции по математике, вып. 37).
  • Хинчин А. Я. Цепные дроби. — М.: ГИФМЛ, 1960.
  • Волошинов А. В. Математика и искусство. 2-е изд. — М.: Просвещение, 2000.
  • Концевич М. Равномерные расположения // Журнал «Квант». 1985. № 7. Стр. 51, 52, 59.
  • Способин И. В. Элементарная теория музыки. — М.: Гос. музыкальн. изд-во., 1963.
  • Loy G. Musimathics: the mathematical foundations of music. Vol 1, 2. — MIT Press, 2006, 2007.