Cтр. 40

Дробление камней в почках
Поделиться…

В организме человека как побочный результат происходящего в нём обмена веществ иногда образуются камни (например, в почках). Камни беспокоят, даже могут угрожать жизни, поэтому с ними приходится бороться.

Литотрипсия (от древнегреческого $\lambda \acute\iota\mkern1mu \theta ο \varsigma$ — камень) — один из методов дистанционного разрушения камней с помощью ударных волн. Принцип работы многих аппаратов дистанционного воздействия основан на геометрических свойствах эллипса.

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, постоянна.

Это определение сразу приводит к способу построения эллипса. Привяжем концы нити к двум кнопкам, а их воткнём в лист бумаги. Если натянуть нить с помощью карандаша, поставить его на лист и, всё время сохраняя нить натянутой, провести линию, то получится дуга эллипса. Дело в том, что нить всё время будет иметь форму ломаной, состоящей из отрезков, соединяющих карандаш и кнопки‐фокусы. Сумма длин этих отрезков постоянна и равна длине нити.

Как и парабола, эллипс обладает оптическим свойством. Если поместить точечный источник излучения («лампочку») в один из фокусов эллипса и включить его, то лучи, отразившись от эллипса, соберутся во втором фокусе. При этом все лучи придут во второй фокус одновременно, так как для каждого луча длина пройденного пути будет одна и та же (по определению эллипса).

Именно это оптическое свойство эллипса используется в дистанционной литотрипсии.

При вращении эллипса вокруг прямой, проходящей через фокусы, получается эллипсоид вращения. В каждом сечении эллипсоида плоскостью, проходящей через ось вращения, получаются равные эллипсы с общими фокусами, поэтому эллипсоид тоже обладает оптическим свойством.

Отражатель аппарата дистанционной литотрипсии — часть эллипсоида, «чаша», примыкающая к одному из фокусов, в котором размещается источник излучения. Пациента помещают так, чтобы совместить положение второго фокуса и положение камня — мишени волновой атаки.

Конечно, излучение проходит и через ткани, окружающие камень, но только в фокусе одномоментно концентрируется вся энергия излучения, становясь и разрушающей, и целительной силой.

Приведём геометрическое объяснение оптического свойства эллипса.

Вышедший из фокуса луч, достигнув эллипса, отражается по закону «угол падения равен углу отражения» (отражение от кривой — это отражение от касательной к кривой в этой точке).

Если точку отражения луча соединить и со вторым фокусом, то получаются два отрезка нити из геометрического определения эллипса. На касательной к эллипсу, проведённой в точке отражения луча, все остальные точки лежат вне эллипса, поэтому для них сумма расстояний до фокусов будет больше.

Воспользуемся теперь результатом фольклорной «задачи о Красной Шапочке», в которой внучка должна дойти от своего дома до реки (прямой), наполнить ведро и отнести его в дом бабушки. Кратчайший путь характеризуется тем, что отрезки, соединяющие дома с точкой «водозабора» на берегу, должны быть наклонены к прямой под одинаковыми углами.

В нашем случае дома — фокусы, река — касательная, кратчайший путь — отрезки нити, «рисующей» эллипс. Следовательно, эти отрезки образуют с касательной равные углы, а сама нить становится для луча «путеводной».

Дополнительная информация

  • Древние греки занимались изучением эллипса, гиперболы и параболы, рассматривая их как конические сечения. Аполлоний (262 до н.э.  — 190 до н.э., родом из Перги, но работавший в Александрии, современник Архимеда) написал труд «Конические сечения» в восьми книгах, половина из которых дошла до наших дней только в средневековых арабских переводах.

    Аполлоний рассматривал фокусы эллипса и гиперболы, хотя у него и не было специального термина для этих точек, знал их свойства, включая оптические.

    Диокл, младший современник Аполлония, в сочинении «О зажигательных зеркалах» приводит оптическое свойство параболы, видимо, основываясь на результатах учёных круга Архимеда. Это сочинение также сохранилось лишь благодаря арабским переводам, в которых параболоид вращения назывался «зажигательным зеркалом», а фокус параболы  — «местом зажигания».

    При издании латинских переводов арабской математической литературы «место зажигания» не могло не превратиться в латинское focus  — «очаг, огонь». Как термин «фокус» был введён Иоганном Кеплером в сочинении «Оптическая астрономия» (1604), причём не только для параболы, но и для эллипса и гиперболы.

Литература

  • Васильев Н. Б., Гутенмахер В. Л. Прямые и кривые. 2-е изд. — М.: Наука, 1978. — [Ко второму изданию книга была значительно переделана и дополнена, с тех пор в переработанном виде переиздавалась несколько раз].
  • Маркушевич А. И. Замечательные кривые. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1952. — (Популярные лекции по математике; вып. 4).
  • Эллипс // Журнал «Квант». 1990. № 5. Стр. 40—41.