Cтр. 62

Причаливание
Поделиться

Морские, воздушные и космические суда дали человечеству невероятные возможности в освоении окружающего пространства. Помимо способности решать «полётные» задачи, корабли должны уметь и благополучно возвращаться: причаливать к пристани, совершать мягкую посадку. Кажется, что современные автоматы могут решить и такую задачу…

Но вспомните собственные наблюдения. Катер, подходя к причалу, обвешанному резиновыми кранцами, замедляет ход, разворачивается бортом к берегу, и вдруг в эту техническую картину добавляется ручной труд. Прямо перед «стыковкой» на пристани появляется матрос и, подхватив брошенный с борта канат, наматывает его на тумбу и вручную подтягивает катер.

У самолёта, совершающего посадку, вертикальная компонента скорости остаётся ненулевой вплоть до касания со взлётно‐посадочной полосой. Соприкосновение шин и покрытия — это удар, который для корпуса и пассажиров смягчают амортизаторы шасси и мастерство пилотов.

Ещё один пример — космический: это может быть и посадка аппарата на Луну, и возвращение на Землю ракеты многоразового использования. В этих случаях также не избежать заключительного удара, с ним борются посадочные амортизаторы.

Важно, что во всех рассмотренных примерах полностью избежать удара невозможно, каким бы ни были мастерство пилотов или вычислительная мощь автоматики. Это можно доказать математически, точнее, это следует из теории дифференциальных уравнений.

В задаче о причаливании управление процессом осуществляется регулировкой скорости (ускорения) в зависимости от расстояния до берега с желанием иметь нулевую скорость в момент касания. Приведённая формулировка «оживает» в описании автоматического причаливания по Владимиру Игоревичу Арнольду: «…наблюдая оставшееся до причала расстояние, управление выбирают так, чтобы скорость причаливания плавно уменьшалась до нуля…» (книга «Математическое понимание природы»).

Режим управления в реальном времени предпочтителен, поскольку посадка по заранее рассчитанному графику погашения скорости или причаливание по намеченной траектории уязвимы — внешние обстоятельства, такие как течение, ветер, турбулентность, могут заготовленные планы разрушить с катастрофическими последствиями.

Математически — скорость (производная по времени функции расстояния) представлена как гладкая («хорошая») функция расстояния. Требование гладкости накладывается, чтобы изменение скорости (управляющего параметра) было небольшим при малом изменении расстояния.

Процесс причаливания описывается дифференциальным уравнением $x'(t)=f(x(t))$, где $x(t)$ — расстояние до «причала», $x'(t)$ — скорость, $f$ — гладкая функция, задающая режим управления скоростью, и условием $f(0)=0$ (безударность причаливания). Но в этом случае теория дифференциальных уравнений говорит: гладкое причаливание можно выполнить только за бесконечное время!

Разберёмся на простом жизненном примере, как возникает бесконечное время в задаче безударного причаливания. Предположим, что мы управляем лодкой так, чтобы на расстоянии $x$ метров до берега её скорость равнялась $x$ м/c. Тогда в момент касания с пристанью скорость была бы равна нулю — причаливание было бы безударным. Пусть в начальный момент времени лодка находится от берега на расстоянии $a$ метров. На первую половину пути до берега ($a/2$ метров) уйдёт больше половины секунды, так как на этом участке скорость меньше, чем начальная скорость $a$ м/с. На половину остающегося пути (отрезок длиной $a/4$) лодка также потратит больше, чем полсекунды. Таких «половинок» от остающегося пути бесконечно много, на преодоление каждой уходит больше, чем полсекунды, поэтому за конечное время доплыть до берега не удастся.

В примере с лодкой «управляющее» дифференциальное уравнение имеет вид $x'=-x$. Замена функции $f(x)=-x$ на любую другую гладкую функцию с условием $f(0)=0$ не избавляет от бесконечного времени причаливания.

Итак, практически накладывается «математический запрет» на возможность безударного причаливания‐приземления. В данном случае, теория дифференциальных уравнений выступает в роли героя «отрицательного», но делающего полезное дело: несбыточные желания отметаются, и можно сосредоточиться на поиске реальных решений задачи.

Дополнения, комментарии

 Почему матросу, намотавшему канат несколько раз вокруг кнехта, удаётся подтянуть к пристани многотонный корабль?

Дело в том, что сила трения каната о цилиндры тумбы и число витков вокруг них увеличивают «силу» матроса экспоненциально (см. книгу: Шубин М. А. Математический анализ для решения физических задач). Но сила трения определяется материалом, от поведения на пристани не зависит, а вот число витков — величина, зависящая от мастерства и сноровки моряка. При трёх оборотах каната и при типовом значении коэффициента трения сила, с которой матрос тянет канат, увеличивается на несколько порядков, примерно в 500 раз. Если усилие, прикладываемое матросом, соответствует весу в 10 кг, то  канат будет тянуть судно с силой, соответствующей 5000 кг. Просто представьте грузовик в 5 тонн!

 Исаак Ньютон писал Готфриду Вильгельму Лейбницу (переписка двух главных создателей анализа бесконечно малых шла через секретаря Лондонского Королевского общества Генри Ольденбурга):

Сущность этих действий, которую, впрочем, довольно легко усмотреть, я (ввиду того, что не могу привести здесь его объяснения) лучше передам в следующем скрытом виде:
6accdæ13eff7i3l9n4o4qrr4s8t12vx.

В приведённой анаграмме сообщается, сколько раз в зашифрованном тексте встречаются буквы алфавита. Запись вида «6a» говорит, что буква «a» встречается 6 раз; сочетание «æ» упоминается отдельно; «u» и «v» в те времена на письме не различали. Зашифрованная латинская фраза: «Data æquatione quotcunque fluentes quantitates involvente fluxiones invenire, et vice versa».

Владимир Игоревич Арнольд в своей книге «Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений» писал:

В переводе на современный математический язык это означает:
«Полезно решать дифференциальные уравнения.

Классическим подтверждением этих слов является обнаружение в 1846 году Нептуна — восьмой и самой дальней от Земли планеты Солнечной системы. Математик Леверье определил параметры орбиты ещё не открытой планеты, и благодаря его расчётам в определённое время в указанном направлении она была обнаружена астрономом Галле. Франсуа Араго, в то время директор Парижской обсерватории, так оценил это событие:

Астрономы иногда случайно находят видимую в телескоп движущуюся точку — планету. Леверье открыл новую планету, ни разу не взглянув на небо: он увидел её на кончике пера. Он вывел существование планеты силой одного лишь расчёта.

(Comptes rendus hebdomadaires des seances de l'Academie des Sciences, t. 23, juillet—decembre 1846, p. 660.)

Литература

Арнольд В. И. Математическое понимание природы. — М.: МЦНМО, 2010. — [Очерк «Задача Лидова о прилунении ракет»].

Дворянинов С., Краутер З., Протасов В. Сколько времени длится причаливание? // Журнал «Квант». 2017. № 11. Стр. 2—9.

 
  • © 2015—2019 Авторы статей
  • © 2015—2019 Фонд «Математические этюды»
  • © 2015—2019 Математический институт им. В. А. Стеклова РАН