Обнаружение разладки

Так устро­ена при­рода, что многие реаль­ные процессы являются слу­чай­ными, наблю­да­телю неиз­вестно будущее. Oдна из задач тео­рии при­ня­тия реше­ний в усло­виях неопре­де­лён­но­сти — опре­де­ле­ние в реаль­ном времени момента раз­ладки: момента, когда про­ис­хо­дит скач­ко­об­раз­ное изме­не­ние харак­те­ри­стик процесса. Раз­ладка — событие ред­кое, но суще­ствен­ное, и её свое­времен­ное обна­руже­ние при ана­лизе дан­ных часто имеет решающее зна­че­ние.

Обнаружение разладки // Математическая составляющая

Это можно ощу­тить, почув­ство­вать на сле­дующих при­ме­рах из раз­ных обла­стей. Наблю­де­ние и ана­лиз при­род­ных явле­ний — метео­ро­логия, пред­ска­за­ние зем­ле­тря­се­ний на основе ана­лиза пока­за­те­лей дат­чи­ков сейсми­че­ских станций. В эко­номике — ана­лиз финан­со­вых рын­ков и кон­троль каче­ства выпус­ка­емой про­дукции. В компью­тер­ных системах — мони­то­ринг динами­че­ских фак­то­ров, харак­те­ри­зующих изме­не­ния системы, в част­но­сти, для обна­руже­ния неже­ла­тель­ных вторже­ний. Отдель­ная чув­стви­тель­ная область — медицина: слеже­ние за сиг­на­лами жиз­не­де­я­тель­но­сти боль­ного в палате интен­сив­ной терапии, обна­руже­ние эпи­демий.

Момент раз­ладки для наблю­да­теля не изве­стен зара­нее, при­чём до этого момента «идёт» один процесс, а затем наблю­да­ется уже дру­гой процесс, часто — весьма сход­ный «внешне» с пер­во­на­чаль­ным, и чтобы их раз­ли­чить, необ­хо­димо исполь­зо­вать матема­ти­че­ские инструменты. Напри­мер, в радио­ло­кации до неиз­вест­ного момента раз­ладки наблю­да­ется «шум», а затем, после него, наблю­да­ется «шум + сиг­нал», где «сиг­нал» (может быть, и весьма сла­бый) отве­чает появившейся цели.

Этот при­мер под­ска­зы­вает, как сле­дует форму­ли­ро­вать задачу обна­руже­ния момента раз­ладки: надо, чтобы веро­ят­ность лож­ной тре­воги была мала, но если тре­вога под­нима­ется «пра­вильно», т. е. после момента раз­ладки, то (сред­нее) время запаз­ды­ва­ния было бы как можно меньше. Под­черк­нём, что момент объяв­ле­ния тре­воги должен опре­де­ляться по «прошлым» дан­ным. Эти тре­бо­ва­ния про­ти­во­ре­чивы, поэтому обычно предпо­лагают, что веро­ят­ность лож­ной тре­воги не больше неко­то­рого малого зна­че­ния, и надо мини­ми­зи­ро­вать сред­нее время запаз­ды­ва­ния момента под­ня­тия тре­воги.

Вели­кий рос­сийский матема­тик Андрей Нико­ла­е­вич Колмого­ров в пер­вой поло­вине XX века пред­ложил акси­о­ма­тику, пре­вра­тившую тео­рию веро­ят­но­стей в строй­ную матема­ти­че­скую дис­ци­плину. В сере­дине XX века он дал строгую поста­новку задачи о ско­рейшем обна­руже­нии раз­ладки для вине­ров­ского процесса (матема­ти­че­ской модели многих явле­ний), сформу­ли­ро­вав её как веро­ят­ност­ную экс­тремаль­ную про­блему. Тогда же появился пол­но­стью обос­но­ван­ный тео­ре­ти­че­ски метод обна­руже­ния раз­ладки и даже сам термин «раз­ладка». Суще­ствуют и другие методы реше­ния задачи, но воз­никший в школе Колмого­рова метод явля­ется и кон­струк­тив­ным, и вос­тре­бо­ван­ным на прак­тике.

Форму­ли­ровка задачи обна­руже­ния раз­ладки в веро­ят­ност­ных терми­нах свя­зана со слу­чай­но­стью зна­че­ний наблю­да­емых дан­ных. Опи­сать их раз­но­об­раз­ный харак­тер как-то про­сто вряд ли возможно, поэтому и при­ме­ня­ется веро­ят­ност­ное опи­са­ние, учи­ты­вающее, что эти вели­чины — слу­чай­ные, их зна­че­ния меняются от одного момента времени к другому.

Методы реше­ния задач ско­рейшего обна­руже­ния в зна­чи­тель­ной мере опи­раются на современ­ный аппа­рат тео­рии слу­чай­ных процес­сов, сто­ха­сти­че­ского исчис­ле­ния, тео­рии мар­тинга­лов, нели­ней­ной фильтрации и т. д. В свою оче­редь, многие из этих раз­де­лов полу­чили раз­ви­тие именно на пути реше­ния задач ско­рейшего обна­руже­ния. Это служит хорошей иллю­страцией того, как про­ис­хо­дит раз­ви­тие тео­рии, когда она наце­лена на реше­ние кон­крет­ных задач, имеющих прак­ти­че­ский инте­рес. В общем-то, и всё раз­ви­тие веро­ят­ност­ных дис­ци­плин имеет сход­ный харак­тер. Из исто­рии науки известно, что зарож­де­ние тео­рии веро­ят­но­стей было свя­зано с оцен­кой благопри­ят­ных исхо­дов в азарт­ных играх, а нача­лом матема­ти­че­ской ста­ти­стики стали попытки раз­реше­ния вопро­сов гео­де­зии и аст­ро­номии.

Пре­вра­тивший тео­рию информации в область матема­тики Клод Шен­нон писал: «Созна­вая, что тео­рия информации явля­ется силь­нейшим сред­ством реше­ния про­блем тео­рии связи (и в этом отноше­нии её зна­че­ние будет воз­рас­тать), нельзя забы­вать, что она не явля­ется панацеей для инже­нера-свя­зи­ста и тем более для пред­ста­ви­те­лей других спе­ци­аль­но­стей. Очень редко уда­ётся открыть одно­временно несколько тайн при­роды одним и тем же клю­чом».

Мы при­во­дим эти слова, чтобы под­черк­нуть: поста­новки задач и извест­ные методы их реше­ния должны побуж­дать чита­теля форму­ли­ро­вать новые задачи, искать для их реше­ния новые под­ходы, стиму­ли­рующие раз­ви­тие и соб­ственно тео­ре­ти­че­ских иссле­до­ва­ний.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Лите­ра­тура

Ширяев А. Н. Веро­ят­ностно-ста­ти­сти­че­ские методы в тео­рии при­ня­тия реше­ний. — М.: МЦНМО, 2014.