Кривая поворота

Про­хож­де­ние пово­рота на трассе — демон­страция мастер­ства пилота в «Форму­ле‐1». Но с этой зада­чей еже­дневно стал­ки­ваются и рядо­вые води­тели, и маши­ни­сты поез­дов. А можно ли про­ек­ти­ро­вать дороги так, чтобы уменьшить «стрессы» на пово­ро­тах для води­те­лей, пас­сажи­ров и даже для тех­ники?

Оче­видно, что дорога должна быть глад­кой, без изломов. Но для ско­рост­ных трасс этого недо­ста­точно.

Кривая поворота // Математическая составляющая

Пред­ста­вим дорогу в виде прямой, пере­хо­дящей в дугу окруж­но­сти. На прямо­ли­ней­ном участке во время движе­ния руль не повёр­нут. При въезде на уча­сток дуги окруж­но­сти его необ­хо­димо резко повер­нуть. Пас­сажиры почув­ствуют тол­чок. Понятно, что опи­сан­ный «тол­чок» при вхож­де­нии в такой пово­рот испыты­вает и тех­ника. Но если води­тель авто­машины ещё может попытаться «сгла­дить» ситу­ацию за счёт выбора тра­ек­то­рии, то маши­нист поезда такого выбора не имеет, и при неудач­ной геомет­рии полотна стра­дать будут все — от пас­сажи­ров до рель­сов (послед­ние будут быстро изнаши­ваться).

Итак, непо­сред­ствен­ная склейка прямой и окруж­но­сти в дан­ной ситу­ации — реше­ние не лучшее. Воз­ни­кает задача рас­чёта пере­ход­ной кри­вой — части дороги, осуществ­ляющей «плав­ный» пере­ход с прямо­ли­ней­ного участка на дугу окруж­но­сти посто­ян­ного ради­уса.

В матема­тике у кри­вых есть важ­ная харак­те­ри­стика — кри­визна. У окруж­но­сти ради­уса $R$ кри­визна равна $1/R$, у прямой кри­визна равна $0$. Для про­из­воль­ной глад­кой кри­вой на плос­ко­сти кри­визна в задан­ной точке опре­де­ля­ется с помощью сопри­ка­сающейся окруж­но­сти, дуга кото­рой в окрест­но­сти точки «похожа» на дугу кри­вой.

Можно ли найти такую пере­ход­ную кри­вую, чтобы её кри­визна меня­лась линейно в зави­симо­сти от прой­ден­ного пути? Тогда при движе­нии с посто­ян­ной (по мо дулю) ско­ро­стью руль автомо­биля нужно было бы пово­ра­чи­вать рав­но­мерно.

Кривая поворота // Математическая составляющая

Такие кри­вые суще­ствуют, они назы­ваются спи­ра­лями Корню или кло­то­и­дами. Для рас­чё­тов спи­рали Корню сложны, но в постро­е­нии пере­ход­ных кри­вых служат важ­ной отправ­ной точ­кой.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Допол­не­ния, коммен­та­рии

Инже­неру-стро­и­телю непро­сто рас­счи­тать параметры дороги в форме кло­то­иды — это слож­ная вычис­ли­тель­ная задача. Кроме того, при­хо­дится учи­ты­вать все­возмож­ные внеш­ние обсто­я­тельства. Напри­мер, это могут быть огра­ни­че­ния на длину пере­ход­ного участка (с прямо­ли­ней­ного отрезка на дугу окруж­но­сти). Поэтому на прак­тике, и в авто­до­рож­ном деле, и при сооруже­нии желез­ных дорог, часто исполь­зуют куби­че­скую пара­болу, хорошо при­ближающую кло­то­иду ($y=ax^3$ — при­мер куби­че­ской пара­болы).

Заме­ча­тель­ные кри­вые нахо­дят множе­ство при­ме­не­ний. Кло­то­ида, «герой» пово­ро­тов авто­до­рог, впер­вые была рас­смот­рена Яко­бом Бер­нулли в связи с зада­чей о форме упру­гой пла­стины. Позд­нее кри­вую изу­чал Эйлер, так что часто её назы­вают спи­ра­лью Эйлера. А ещё кло­то­ида назы­ва­ется спи­ра­лью Корню, в честь фран­цуз­ского физика, исполь­зо­вавшего её для реше­ния задач физи­че­ской оптики. Отно­си­тельно недавно эта кри­вая даже стала гвоз­дём аттракци­она: в 1970‐е годы в Герма­нии скон­стру­и­ро­вали аме­ри­кан­ские горки с мёрт­вой пет­лёй, часть кото­рой — дуга кло­то­иды. В отли­чие от преж­них кон­струкций здесь решена про­блема без­опас­но­сти: посе­ти­тели не рискуют полу­чить травму, что объяс­ня­ется глад­ко­стью про­хож­де­ния виражей.

Лите­ра­тура

Цеглин­ский К. Желез­но­до­рож­ный путь в кри­вых. — М.: Т‐во типо-литографии В. Чиче­рин, 1903.