Периодические цикады

Уди­ви­тель­ный мир дикой при­роды иногда дарит нату­ра­ли­стам сюжеты, в кото­рых явно про­смат­ри­ваются матема­ти­че­ские зако­номер­но­сти. В одних слу­чаях эти зако­номер­но­сти уда­ётся объяс­нить на основе имеющихся зна­ний, полу­чить их как вывод в логи­че­ской цепочке рас­суж­де­ний. А бывает и так, что подоб­ный раци­о­наль­ный путь найти не уда­ётся, и тогда дока­за­тельства уступают место гипо­те­зам.

Раз­бе­рём при­мер из жизни насе­комых, демон­стри­рующий, что источ­ни­ком гипо­тез могут стать матема­ти­че­ские свойства вели­чин в наблю­да­емых зако­номер­но­стях. Речь пой­дёт о живущих в Север­ной Аме­рике цика­дах, назы­ва­емых пери­о­ди­че­скими. У части видов рода жиз­нен­ный цикл — 13 лет, у дру­гой части — 17 лет. Раз в 13 лет на поверх­ность из под­зем­ного мира выхо­дят личинки одного типа, раз в 17 лет — другого (пери­о­дич­ность). Основ­ное предпо­ложе­ние в объяс­не­нии циф­ро­вой зага­доч­но­сти цик­лов — то, что в борьбе за выжи­ва­ние рода цикады «научи­лись» исполь­зо­вать свойства… нату­раль­ных чисел!

Периодические цикады // Математическая составляющая

Есть две гипо­тезы, допол­няющие друг друга и объяс­няющие воз­ник­но­ве­ние видов цика­д‐13 и цика­д‐17. Матема­ти­че­ская состав­ляющая в обеих гипо­те­зах одна — про­стота чисел 13 и 17. Напом­ним: про­стые числа — те, кото­рые нельзя пред­ста­вить в виде про­из­ве­де­ния двух меньших. Клю­че­вое утвер­жде­ние: если $p$ — про­стое число, а $n<p$, то наименьшее общее крат­ное чисел $n$ и $p$ равно про­из­ве­де­нию $np$.

Пер­вая гипо­теза объяс­няет, как числа 13 и 17 «защищают» цикад от хищ­ных врагов. Напри­мер, если в какой‐то год появи­лись и цика­ды‐17, и хищ­ники, у кото­рых длина жиз­нен­ного цикла $n<17$, то сле­дующая «встреча» состо­ится только через $17n$ лет (наименьшее общее крат­ное чисел $n$ и 17). Хищ­ники не смогут ждать так долго… А подо­брать мутацию вида хищ­ни­ков так, чтобы длина цикла была равна 17, — слож­ная задача даже для «есте­ствен­ного отбора».

С цика­дами‐13 ситу­ация сход­ная. Общее важ­ное свойство — числа 13 и 17 не только про­стые, но и большие, что делает встречи с хищ­ни­ками ред­кими, раз­не­сён­ными по времени.

Вто­рая гипо­теза ана­ли­зи­рует возмож­ность гибри­ди­за­ции цика­д‐13 и цика­д‐17, кото­рая опасна и неже­ла­тельна, так как может раз­ру­шить имеющуюся цик­лич­ность. Спа­сает то, что пере­се­че­ния про­ис­хо­дят только раз в 221 год.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»

Допол­не­ния, коммен­та­рии

Про­стые числа в современ­ных европе­йских язы­ках (герман­ских и роман­ских) назы­ваются primes, что про­ис­хо­дит от их наиме­но­ва­ния у Евклида — protos (пер­вый, началь­ный). А в рус­ском языке появ­ля­ется слово «про­стое», добав­ляющее отте­нок нераз­ложимо­сти, цель­но­сти — в духе основ­ной тео­ремы арифме­тики.

Гре­че­ский учё­ный Эра­то­сфен в III веке до н. э. при­думал спо­соб, алго­ритм нахож­де­ния всех про­стых чисел, не пре­вос­хо­дящих неко­то­рого фик­си­ро­ван­ного числа $N$. Выпишем все нату­раль­ные числа от 2 до $N$. Вычерк­нем в списке все числа, крат­ные 2 (кроме самой двойки); наименьшее невы­черк­ну­тое число после 2 — это 3, сле­дующее про­стое число. Остав­ляем тройку и вычёр­ки­ваем числа, крат­ные 3, и т. д. Если такие действия про­де­лать для всех чисел, не пре­вос­хо­дящих $\sqrt{N}$, то неза­чёрк­ну­тыми оста­нутся все про­стые числа и только они.

Опи­сан­ный процесс можно меха­ни­зи­ро­вать, сде­лать нагляд­ным. Напе­ча­тайте на листе бумаги числа от 1 до $N=nm$ в виде таб­лицы размера $n\times m$. На пер­вой про­зрачке на местах чёт­ных чисел (кроме 2) напе­ча­тайте закрашен­ные обла­сти. На вто­рой — то же с чис­лами, крат­ными 3 (кроме самой тройки), и т. д. Если создать доста­точно большой набор таких про­зра­чек, то при наложе­нии их на основ­ную таб­лицу все про­стые числа будут видны (прой­дут через сито, решето отбора), а все состав­ные — скрыты.

Периодические цикады // Математическая составляющая

На каж­дом листе-про­зрачке закрашен­ные клетки будут встре­чаться через оди­на­ко­вое число шагов, а вот вид и рас­по­ложе­ние обра­зу­емых ими линий зави­сят от коли­че­ства столбцов в таб­лице.

Ска­терть Улама — попытка при­дать множе­ству про­стых чисел геомет­ри­че­ский облик.

Возьмём клет­ча­тый лист и зануме­руем все клетки по спи­рали: какой-то цен­траль­ной клетке дадим номер 1, клетке справа — 2, клетке над ней — 3 и т. д., двига­ясь вокруг клетки «1». Если закра­сить клетки, номера кото­рых — про­стые числа, то полу­чится затей­ли­вый точеч­ный узор, кото­рый и назы­ва­ется ска­тер­тью Улама, в честь впер­вые нари­со­вавшего его матема­тика Ста­ни­слава Улама.

Периодические цикады // Математическая составляющая
Периодические цикады // Математическая составляющая

Бро­са­ется в глаза, что часть точек выстра­и­ва­ется в линии двух типов, парал­лельно диаго­на­лям «ска­терти».

Множе­ство про­стых чисел устро­ено замыс­ло­вато, но можно опи­сать его «в целом»: ука­зать много­член с целыми коэффици­ен­тами от многих перемен­ных, множе­ство всех положи­тель­ных зна­че­ний кото­рого при нату­раль­ных зна­че­ниях перемен­ных есть в точ­но­сти множе­ство всех про­стых чисел. Пер­вые такие много­члены были постро­ены в начале 1970‐х годов, на сего­дняш­ний день минималь­ное коли­че­ство перемен­ных — 10 (результаты Ю. В. Мати­я­се­вича, одного из авто­ров этой книги).