Cтр. 80

Високосное летосчисление
Поделиться…

Сколько дней в году и как появились високосные годы? Что продиктовано природой и что придумано людьми? Попробуем разобраться.

Солнечные сутки — это период обращения Земли вокруг своей оси (полный оборот относительно направления на Солнце). Рассматривают и другие сутки, например, звёздные. Но именно солнечные сутки определяют жизненный ритм: день—ночь—день…

Год — тоже многозначное понятие: астрономы различают звёздный, тропический, календарный и другие годы. Тропический год — период обращения Земли вокруг Солнца — определяется как временной интервал между прохождениями Солнца через точку весеннего равноденствия. Именно тропический год управляет сменой сезонов: зима—весна—лето—осень.

Вращение Земли вокруг оси (сутки) и вращение вокруг Солнца (год) происходят независимо друг от друга и, более того, длительность их периодов понемногу (очень медленно!) меняется. Астрономы и физики регулярно измеряют продолжительность солнечных суток и тропического года. В нашу эпоху длительность тропического года — с точностью до десятых долей секунды — составляет 365 суток 5 часов 48 минут и $45{,}$2 секунды, или, используя астрономическую запись,
$$
365^{\mathrm d}\ 05^{\mathrm h}\ 48^{\mathrm m}\ 45{,}2^{\mathrm s}.
$$В долях средних солнечных суток это составляет $365\frac{52313}{216000}$, в десятичной записи — примерно $365{,}2422$.

Принять для повседневного использования такую длительность года просто немыслимо. Возникает проблема выбора длины календарного года: она должна быть близка к величине тропического года, но состоять из целого числа суток. Если принять длительность календарного года равной $365^{\mathrm d}$, то за четыре года отставание календаря составит почти сутки. Постепенно 1 января с зимы сместится на осень, а потом и на лето. Периодические мероприятия (например, начало учебного года) нельзя будет связывать с определёнными календарными датами.

Одно из решений проблемы подсказывает «округление» длительности тропического года 365,2422$^{\mathrm d}$ до 365,25$^{\mathrm d}$, тогда дробная «добавка» составит ровно $\frac{1}{4}$ суток, т. е. 6 часов. Календарь разбивается на четырёхлетние циклы, в каждом из которых три года — по 365 дней, а четвёртый, называемый високосным, состоит из 366 дней. Введение раз в четыре года дополнительного дня в календаре делает среднюю длину календарного года равной $365^{\mathrm d}$ $06^{\mathrm h}$, что больше истинной длительности тропического года примерно на $11^{\mathrm m}$ $15^{\mathrm s}$.

Такую систему придумал александрийский астроном Созиген, а в 45 году до н. э. в Древнем Риме она была введена Юлием Цезарем. Отсюда и название — юлианский календарь.

В 325 году н. э. по решению Никейского собора весь христианский мир принял юлианский календарь. В то время день весеннего равноденствия приходился на 21 марта. Этот день был важной точкой отсчёта в определении дней христианских праздников, которые, в свою очередь, служили главными ориентирами в хозяйственном календаре (сев, жатва и т. п.).

Но в юлианском календаре, есть, как мы видели, ежегодная ошибка — примерно 11 минут. За столетия «набегают» целые дни и к концу XVI века за период со времени Никейского собора день весеннего равноденствия отступил в календаре на 10 суток.

Папа Григорий XIII стал инициатором реформ, которые преследовали две цели: во–первых, вернуть на календарное место день равноденствия, во–вторых, выбрать более совершенный календарь, «чтобы и в будущем равноденствие со своего места никогда не сдвигалось».

Основой нового календаря, введённого в 1582 году и получившего название григорианского, стало дополненное относительно юлианского календаря правило чередования простых и високосных лет. Високосными остались те годы, номера которых делятся на 4, но появилось исключение: если номер года оканчивается двумя нулями, но не делится на 400 (т. е. число сотен не делится на 4), то год считается простым, а не високосным. Например, в григорианском календаре 1800 год становится обычным, а 2000 год остаётся високосным.

Также Григорий XIII распорядился сдвинуть календарь на 10 дней, так что после 4 октября 1582 года наступило сразу 15 октября.

С тех пор расхождение между юлианским и григорианским календарями увеличилось до 13 дней, так как добавились 3 дня в 1700, 1800 и 1900 годах. В России до 1918 года пользовались юлианским календарём, а декретом Совета народных комиссаров от 26 января 1918 года был введён григорианский календарь. Поэтому даты российской истории при переводе со «старого стиля» в современный календарь сдвигаются на 12 дней для событий XIX века, а для событий XX века до 1918 года — на 13 дней.

В григорианском календаре за 400 лет три раза встречаются простые годы, которые являются високосными в юлианском календаре. Всего високосных лет за этот период: 100 — в юлианском, 97 — в григорианском календаре. Поэтому средняя длина григорианского года равна $\big(365\frac{97}{400}\big)^{\mathrm d}= 365^{\mathrm d}$ $05^{\mathrm h}$ $49^{\mathrm m}$ $12^{\mathrm s}$, что больше истинной примерно на $27^{\mathrm s}$. Хорошая точность достигнута весьма простыми средствами.

И юлианский, и григорианский календари устроены циклично. В юлианском календаре — цикл 4–летний, в григорианском — уже 400–летний. Средняя длительность календарного года за цикл близка к длительности года тропического  — $\big(365\frac{1}{4}\big)^{\mathrm d}$ и $\big(365\frac{97}{400}\big)^{\mathrm d}$ соответственно.

Отсюда можно усмотреть, что любое хорошее рациональное приближение величины тропического года, имеющее вид $\big(365\frac{p}{q}\big)^{\mathrm d}$ ($p$ и $q$ — натуральные числа, $p<q$), может стать основой календаря, в котором длина цикла равна $q$. Конечно, число $q$ не должно быть чрезмерно большим. А существует ли календарь такого вида, но более простой, чем григорианский, и не менее точный? Ответ на этот вопрос можно получить, применив математический аппарат под названием «цепные дроби».

Любое положительное число $A$ единственным образом раскладывается в цепную дробь:

$$
A=a_0+\frac1{a_1+\frac1{a_2+\frac1{a_3+…
}}}, $$где $a_0$ — целая часть числа $A$, числа $a_1$, $a_2$, $a_3$, $…$  — натуральные.

Рациональные выражения
$$
a_0,\quad
a_0+\frac1{a_1},\quad
a_0+\frac1{a_1+\frac1{a_2}}, \quad
a_0+\frac1{a_1+\frac1{a_2+\frac1{a_3}}}, \quad

$$ называются подходящими дробями данной цепной дроби. При естественном порядке вычисления («снизу вверх») подходящие дроби получат однозначное представление
$$
a_0+\frac1{a_1+\frac1{a_2+\frac1{\vphantom{\frac12}a_3+
…+\frac1{a_n}}}}=\frac{p_n}{q_n},
$$ где дробь $\frac{p_n}{q_n}$ оказывается несократимой. Главным свойством подходящих дробей является то, что дробь $\frac{p_n}{q_n}$ отстоит от числа $A$ не дальше, чем любая дробь $\frac{p}{q}$, у которой знаменатель $q$ не превосходит $q_n$. Иными словами, для данного числа $A$ наилучшим приближением среди всех рациональных чисел} $\frac{p}{q}$, где $q\le q_n$, является подходящая дробь $\frac{p_n}{q_n}$.

Именно это свойство позволяет найти с помощью цепных дробей серию оптимальных календарей, упорядоченных по точности приближения длины тропического года средней длиной календарного года.

Разложим в цепную дробь длительность тропического года в солнечных сутках:
$$
365\frac{52313}{216000}= 365+\frac1{4+\frac1{7+\frac1{1+\frac1{3+\frac1{26+\frac1{9+\frac1{7}}}}}}}.
$$Каждая из первых подходящих дробей
$$
365,\quad
365 + \frac{1}{4}=365 \frac{1}{4},\quad
365+\frac1{4+\frac1{7}}=365 \frac{7}{29},\quad
$$
$$
365+\frac1{4+\frac1{7+\frac1{1}}}=365 \frac{8}{33},\quad
365+\frac1{4+\frac1{7+\frac1{1+\frac1{3}}}}=365 \frac{31}{128}
$$«предлагает» свой календарь.

Последующие подходящие дроби равны $365\frac{814}{3361}$, $365\frac{7357}{30377}$, $365\frac{52313}{216000}$, и для создания календаря подходят не лучше, чем приближаемая дробь $365\frac{52313}{216000}$.

Представим результаты в виде таблицы.

Подходящая
дробь
Средняя длина
календарного года
Средняя годовая
погрешность
$365\frac{1}{4}$ $365^{\mathrm d}\ 06^{\mathrm h}\ 0^{\mathrm m}\ 0^{\mathrm s}$ $-11^{\mathrm m}\ 15^{\mathrm s}$
$365\frac{7}{29}$ $365^{\mathrm d}\ 05^{\mathrm h}\ 47^{\mathrm m}\ 35^{\mathrm s}$ $1^{\mathrm m}\ 10^{\mathrm s}$
$365\frac{8}{33}$ $365^{\mathrm d}\ 05^{\mathrm h}\ 49^{\mathrm m}\ 05^{\mathrm s}$ $-20^{\mathrm s}$
$365\frac{31}{128}$ $365^{\mathrm d}\ 05^{\mathrm h}\ 48^{\mathrm m}\ 45^{\mathrm s}$ менее $1^{\mathrm s}$

Правильные дроби в левом столбце сообщают главные свойства «предлагаемого» календаря. Знаменатель дроби — число лет в цикле. Если структуру календаря внутри цикла определять разделением на простые и високосные годы, то числитель дроби — это «рекомендуемое» число високосных лет в цикле.

Например, дробь $365 \frac{1}{4}$ определяет юлианский календарь. Пользоваться приближением $365 \frac{7}{29}$ никто не предлагал. Следующее приближение $365 \frac{8}{33}$ даёт календарь почти той же сложности, но намного более точный. Использовать такой календарь (восемь високосных лет из каждых тридцати трёх) предлагал Омар Хайям (1048—1131) — знаменитый поэт, математик и астроном.

Четвёртый вариант в 1864 году предложил немецкий астроном И. Г. фон Медлер. Этот календарь получается из юлианского по той же схеме, что и григорианский, но он даже проще: его цикл — 128 лет (а не 400), изменение количества високосных лет — минимальное  — с 32 в юлианском до 31. Тем удивительнее, что этот календарь гораздо точнее — ошибка составляет менее 1 секунды!

У читателя могут появиться вопросы. Во–первых, почему в приведённой таблице отсутствует григорианский календарь? Во–вторых, почему через полтысячелетия после календаря Омара Хайяма Григорием XIII был предложен календарь более сложный, но менее точный?

Ответы на оба вопроса связаны с одним и тем же обстоятельством. Дело в том, что комиссия Григория XIII пользовалась астрономическими таблицами, составленными для короля Кастилии Альфонса X в 1251 году. В них длина тропического года ошибочно считалась равной $365^{\mathrm d}$ $05^{\mathrm h}$ $49^{\mathrm m}$ $16^{\mathrm s}$, что примерно на $30^{\mathrm s}$ больше истинной. На основании этих таблиц комиссия полагала, что предложенная ею средняя длина года лишь на $4^{\mathrm s}$ отличается от реальной. Календарь Омара Хайяма относительно «кастильского» значения тропического года даёт ошибку большую, в $11^{\mathrm s}$.

Комиссия Григория XIII, видимо, не использовала аппарат цепных дробей. Но подобранное ею значение средней длины календарного года $365\frac{97}{400}=365,2425$ весьма близко к одной из подходящих дробей разложения в цепную дробь длины «кастильского» года — $365\frac{122}{503}=365,2424…$

Вернёмся к математическому анализу проблемы создания точного и удобного календаря.

Приведённые в таблице календари (от юлианского до календаря Медлера) были найдены нами с помощью разложения в цепную дробь текущего значения длины тропического года. Эти календари в обозримом будущем не изменятся. Объясняется это тем, что малые изменения числа (в частности, длины тропического года) не влияют на значения первых подходящих дробей.

Календари таблицы наследуют и другое важное свойство подходящих дробей. В разложении данного числа в цепную дробь подходящие дроби дают наилучшие приближения. Для циклических календарей это означает, например, что среди всех календарей с циклом не более 33 лет самый точный — календарь Омара Хайяма, а если в цикле не более 128 лет, то лучший — календарь Медлера.

Решения проблемы календаря, найденные в прежние времена кропотливым подбором, удивляют и восхищают. Сейчас, с помощью цепных дробей, всё свелось бы к серии простых вычислений. И полностью решая задачу «точности хода календаря», цепные дроби оставляют людям только проблему выбора календаря удобного, желательно привычного…

Литература

  • Хинчин А. Я. Цепные дроби. — М.: ГИФМЛ, 1960.