Математические крылья авиастроения

Авиа­стро­е­ние — важ­нейшая ветвь современ­ной инду­стрии. Между само­лё­то­стро­и­тель­ными фирмами (вклю­чая свя­зан­ные с ними науч­ные инсти­туты) идёт состя­за­ние, цель кото­рого — созда­ние изде­лий, пре­вос­хо­дящих ана­логи кон­ку­рен­тов: для пас­сажир­ских и гру­зо­вых само­лё­тов — по без­опас­но­сти, эко­номич­но­сти, эко­логич­но­сти; для воен­ных само­лё­тов — по бое­вым каче­ствам. Для иссле­до­ва­ний в современ­ной авиаци­он­ной науке свойственно исполь­зо­ва­ние адек­ват­ных матема­ти­че­ских моде­лей, основа кото­рых — чёт­кое понима­ние физики иссле­ду­емых явле­ний. Раз­ра­ботка и кон­стру­и­ро­ва­ние новых само­лё­тов невозможны без при­ме­не­ния «высо­ко­ма­тема­ти­зи­ро­ван­ных» наук, таких как аэро­ди­намика, тео­рия управ­ле­ния, проч­ность.

Математические крылья авиастроения // Математическая составляющая

Аэро­ди­намика — наука, изу­чающая вза­и­мо­действие воз­душ­ного потока и обте­ка­емого им тела. Ско­рость само­лёта настолько велика, что обте­кающий его поток ста­но­вится тур­бу­лент­ным. Тур­бу­лент­ное тече­ние отли­ча­ется от «спо­кой­ного» лами­нар­ного тече­ния хао­ти­че­ским изме­не­нием его харак­те­ри­стик по времени (ско­ро­сти, дав­ле­ния и др.), при­во­дящим к интен­сив­ному перемеши­ва­нию газа, к воз­ник­но­ве­нию вих­рей. Основ­ная матема­ти­че­ская про­блема тур­бу­лент­но­сти — созда­ние системы диффе­ренци­аль­ных урав­не­ний в част­ных про­из­вод­ных, кото­рая бы опи­сы­вала про­из­воль­ные тур­бу­лент­ные тече­ния и кото­рую можно было бы решать на современ­ных компью­те­рах, — до сих пор не решена. Поэтому в насто­ящее время на основе урав­не­ний матема­ти­че­ской физики создаются полуэмпи­ри­че­ские модели тур­бу­лент­но­сти, при­год­ные для опи­са­ния лишь узкого класса тече­ний.

Как опре­де­ляются аэро­ди­нами­че­ские харак­те­ри­стики само­лёта? В основ­ном двумя мето­дами: экс­пе­римен­таль­ным и рас­чёт­ным. Для про­ве­де­ния экс­пе­римен­таль­ных иссле­до­ва­ний в аэро­ди­нами­че­ских тру­бах создают модели само­лё­тов — уменьшен­ные в несколько раз копии ориги­на­лов. Это свя­зано с тем, что размеры аэро­ди­нами­че­ских труб не поз­во­ляют про­во­дить испыта­ния с реаль­ными само­лё­тами. Но дан­ные, полу­чен­ные на испыта­ниях модели в аэро­ди­нами­че­ской трубе, пере­счи­тать в харак­те­ри­стики само­лёта про­стым масшта­би­ро­ва­нием, учё­том коэффици­ента подо­бия модели и реаль­ного само­лёта нельзя.

Дело в том, что урав­не­ния, кото­рым под­чи­няются харак­те­ри­стики тече­ния, доста­точно слож­ные. Если при­ве­сти их к без­размер­ному виду, т. е. выра­зить все размер­ные вели­чины в харак­тер­ных для дан­ного тече­ния парамет­рах, то в урав­не­ния вой­дут без­размер­ные вели­чины, кото­рые носят имена выдающихся учё­ных: число Маха, число Рей­нольдса, число Стру­хала и др. Для строгого подо­бия необ­хо­димо, чтобы все эти вели­чины совпа­дали при реаль­ном полёте само­лёта и при испыта­ниях модели в трубе. Но кон­крет­ные свойства воз­душ­ного потока, кото­рый исполь­зу­ется в трубе, не поз­во­ляют выпол­нить все кри­те­рии подо­бия. Кроме того, и в слу­чае закрытой, и в слу­чае открытой трубы тот факт, что поток не безгра­ни­чен, ска­зы­ва­ется на аэро­ди­нами­че­ских харак­те­ри­сти­ках.

Воз­ни­кает задача пере­счёта с модели на натур­ный само­лёт интеграль­ных харак­те­ри­стик (суммар­ных сил и момен­тов) и рас­пре­де­лён­ных харак­те­ри­стик (зна­че­ния в кон­крет­ных точ­ках дав­ле­ния, темпе­ра­туры и др.). Эта задача реша­ется про­ве­де­нием чис­лен­ного рас­чёта урав­не­ний матема­ти­че­ской физики для двух полуэмпи­ри­че­ских моде­лей: само­лёта в безгра­нич­ном потоке и модели само­лёта в аэро­ди­нами­че­ской трубе. Аэро­ди­нами­че­ские харак­те­ри­стики само­лёта полу­чают, добав­ляя к дан­ным, полу­чен­ным на испыта­ниях уменьшен­ной копии само­лёта в аэро­ди­нами­че­ской трубе, раз­ность одно­тип­ных дан­ных, полу­чен­ных для двух опи­сан­ных полуэмпи­ри­че­ских моде­лей.

Каза­лось бы, почему не про­из­ве­сти рас­чёт сразу, не при­бегая к экс­пе­рименту? Дело тут в точ­но­сти. Точ­ность экс­пе­римен­таль­ных дан­ных, полу­чен­ных в хороших аэро­ди­нами­че­ских тру­бах, в несколько раз выше точ­но­сти рас­чёта.

Основ­ная формула аэро­ди­намики — связь подъём­ной силы, действующей на крыло, со ско­ро­стью движе­ния и цир­ку­ляцией (интен­сив­но­стью) вих­ре­вой системы, порож­да­емой само­лё­том. Эта формула была полу­чена «отцом рус­ской авиации» про­фес­со­ром Н. Е. Жуков­ским и доложена им на засе­да­нии Мос­ков­ского матема­ти­че­ского обще­ства в 1905 году.

Крыло само­лёта должно быть оптималь­ным. Один из наи­бо­лее важ­ных парамет­ров крыла — его каче­ство: так назы­вают отноше­ние подъём­ной силы к силе сопро­тив­ле­ния. Для созда­ния оптималь­ного («каче­ствен­ного») крыла решаются задачи вари­аци­он­ного исчис­ле­ния.

Тео­рия управ­ле­ния. Полёт само­лёта состоит из нескольких фаз: взлёта, набора высоты, крей­сер­ского движе­ния, раз­во­ро­тов, сниже­ния, посадки. На каж­дом этапе само­лё­том необ­хо­димо управ­лять. Закры­лок на крыле или руль высоты на хво­сто­вом опе­ре­нии — при­меры орга­нов управ­ле­ния. Система управ­ле­ния должна быть скон­стру­и­ро­вана так, чтобы про­стые движе­ния пилота в кабине пере­да­ва­лись и дохо­дили до орга­нов управ­ле­ния, вызы­вая соот­вет­ствующие реакции. С дру­гой сто­роны, система должна быть доста­точно «умной», элементы её кон­струкции не должны выхо­дить за гра­ницы без­опас­ного режима.

Ещё одна задача — созда­ние автопи­лота, спо­соб­ного управ­лять движе­нием само­лёта без вмеша­тельства лёт­чика.

За все эти про­блемы отве­чает матема­ти­че­ская тео­рия авто­ма­ти­че­ского управ­ле­ния само­лё­том, бази­рующа­яся в основ­ном на тео­рии диффе­ренци­аль­ных урав­не­ний. С помощью этой же тео­рии созда­ётся матема­ти­че­ская модель про­стран­ствен­ного движе­ния само­лёта, иссле­дуются вопросы устой­чи­во­сти полёта.

Проч­ность. Мало создать само­лёт с хорошими аэро­ди­нами­че­скими дан­ными, необ­хо­димо, чтобы он не раз­ру­шился в полёте, чтобы его ресурс (долго­ле­тие) был доста­точно высок. За реше­ние этой задачи отве­чает наука, кото­рая назы­ва­ется проч­но­стью.

Мето­дами проч­но­сти иссле­дуются упругие и пла­сти­че­ские деформации элемен­тов кон­струкции само­лёта, рост трещин в обшивке само­лёта (в мате­ри­але обшивки изна­чально при­сут­ствуют мик­ро­трещины, кото­рые со време­нем могут расти), раз­ру­ше­ние кон­струкции.

Матема­ти­че­ский арсе­нал для реше­ния задач проч­но­сти вклю­чает клас­си­че­ские и современ­ные методы урав­не­ний матема­ти­че­ской физики, диффе­ренци­аль­ных урав­не­ний, вари­аци­он­ного исчис­ле­ния, комплекс­ного ана­лиза, вычис­ли­тель­ных раз­де­лов линей­ной алгебры.

Каж­дый, кто видел в иллю­ми­на­торе, как ведёт себя крыло само­лёта в полёте, заме­чал доста­точно большую ампли­туду его коле­ба­ний. Дело в том, что для уменьше­ния ампли­туды коле­ба­ний крыла необ­хо­димо уве­ли­чи­вать его вес, а у само­лёта вес кон­струкций пытаются мини­ми­зи­ро­вать. Поэтому от коле­ба­ний крыла изба­виться на уда­ётся. Раз­дел меха­ники, изу­чающий задачи матема­ти­че­ской тео­рии коле­ба­ний и резо­нанса, — аэро­упругость.

Методы реше­ния. Обсу­дим методы реше­ния матема­ти­че­ских задач, о кото­рых гово­ри­лось выше.

Опре­де­ляющие урав­не­ния в реаль­ных зада­чах очень сложны и апри­ори невозможно понять, что полу­чится при их реше­нии.

В сильно упрощён­ных с прак­ти­че­ской точки зре­ния зада­чах иногда уда­ётся полу­чить точ­ное реше­ние. Большин­ство таких задач уже решено, хотя до сих пор нахо­дят неиз­вест­ные ранее точ­ные реше­ния урав­не­ний Навье—Стокса или Эйлера. Но набор таких задач огра­ни­чен, и они далеки от прак­ти­че­ски важ­ных задач.

В то же время иссле­до­ва­ние этих задач очень важно, поскольку точ­ные реше­ния создают физи­че­ские образы — вихрь, погра­нич­ный слой и т. п., — из кото­рых стро­ится физи­че­ская кар­тина изу­ча­емого процесса, как из элемен­тар­ных кирпи­чи­ков стро­ится дом. Полу­чен­ное пред­став­ле­ние о физике процесса поз­во­ляет среди множе­ства матема­ти­че­ских моде­лей выбрать такую, кото­рая в доста­точ­ной степени отражает свойства моде­ли­ру­емого процесса и даёт возмож­ность тех­ни­че­ского поиска реше­ния.

Один из спо­со­бов реше­ния — чис­лен­ный. Часто чис­лен­ное реше­ние задачи сво­дится к системе линей­ных алгеб­ра­и­че­ских урав­не­ний.

Ещё один спо­соб возможен при нали­чии в задаче малого параметра. Таким парамет­ром может быть отноше­ние хорды (ширины) крыла к его размаху, отноше­ние вяз­ких сил к инерци­он­ным (отноше­ние силы тре­ния между сло­ями газа к силе инерции этих слоёв), отноше­ние ширины трещины к её длине. К насто­ящему времени раз­виты асимп­то­ти­че­ские методы реше­ния задач с малым парамет­ром, кото­рые изу­чаются в матема­ти­че­ской тео­рии возмуще­ний.

При­ве­дём как при­мер реше­ние задачи о подъём­ной силе крыла большого удли­не­ния (отноше­ние квад­рата размаха к площади крыла). Здесь два малых параметра — отноше­ние вяз­ких сил к инерци­он­ным и отноше­ние хорды крыла к его размаху.

Благо­даря пер­вому параметру реше­ние задачи можно опре­де­лять не из урав­не­ний Навье—Стокса (моде­ли­рующих движе­ние газа с учё­том тре­ния между сло­ями), а из урав­не­ний Эйлера (тре­ние между сло­ями газа отсут­ствует). Благо­даря вто­рому параметру, каж­дое сече­ние крыла обте­ка­ется так же, как обте­ка­лось бы крыло бес­ко­неч­ного удли­не­ния с профи­лем, соот­вет­ствующим профилю крыла в дан­ном сече­нии. Тем самым задача обте­ка­ния трёхмер­ного крыла транс­форми­ру­ется в ряд более про­стых задач о двумер­ном (плос­ком) тече­нии около профи­лей крыла.

Итак, благо­даря этим двум парамет­рам задача стала намного проще, чем изна­чаль­ная.

Тре­бо­ва­ния к само­лё­там посто­янно уже­сто­чаются — эко­логи­че­ские и эко­номи­че­ские, по без­опас­но­сти полё­тов и по комфорту пас­сажи­ров. Само­лёты совершен­ствуются, во многом — благо­даря матема­ти­че­ским достиже­ниям, кото­рые воплощаются в тех­ни­че­ские реше­ния.

Разворот книги

Книга «Математическая составляющая»
Книга «Математическая составляющая»